Həndəsənin yaranması haqqında məlumat

Prizmanın səthinin sahəsi və həcmi-Oturacaq adlanan iki üzü paralel müstəvilər üzərində yerləşən ixtiyari qabarıq n bucaqlı, qalan n sayda üzləri isə paraleloqramlar olan çoxüzlüyə prizma deyilir. Paralel müstəvilər üzərindəki çoxbucaqlılar prizmanın oturacaqları, paraleloqramlar olan qalan üzlər yan üzlər adlanır. Yan üzlərin birləşməsi prizmanın yan səthini əmələ gətirir. Prizmalar düz prizmalar və mail prizmalar olmaqla iki növdür. Yan tili oturacaq müstəvisinə perpendikulyar olan prizmaya düz prizma deyilir. Aşkardır ki, düz prizmanın yan üzləri düzbucaqlıdır. Yan tili oturacaq müstəvisinə perpendikulyar olmayan prizmaya mail prizma deyilir. Prizmanın üst oturacağına mənsub hər hansı nöqtədən alt oturacağa çəkilən perpendikulyar düz xəttt parçasına prizmanın hündürlüyü deyilir. Aşkardır ki, düz prizmanın hər bir yan tili onun hündürlüyüdür. Prizmanın oturacaqları düzgün çoxbucaqlı olduqda belə prizmaya düzgün prizma deyilir. Aşkardır ki, düzgün prizmanın üzləri düzbucaqlıdır və deməli, belə prizma həm də düz prizma olur. Oturacaq n bucaqlısının təpələrinin sayından asılı olaraq prizma üçbucaqlı ( n  3 ), dördbucaqlı ( n  4 ) və s. prizma adlanır. İxtiyari prizmada n  4 olduqda bütün 6 sayda (2 oturacaq, 4 yan üzlər) üzlərin hamısı paraleloqramlardır. Bütün üzləri paraleloqramlar olan prizmaya paralelepiped deyilir.Aşkardır ki, paralelepiped düz paralelepiped olduqda onun yan üzləri düzbucaqlı olur. Oturacaqları da düzbucaqlı olan düz paralelepipedə düzbucaqlı paralelepiped deyilir. Bütün üzləri kvadrat olan paralelepipedə kub deyilir. n bucaqlı prizmanın bütün ( n  2 ) sayda üzlərinin sahələri cəmi prizmanın səth sahəsi adlanır. Yalnız yan üzlərin sahələri cəmi yan səth adlanır və yan S_yan kimi işarə edilir. Bütün üzlərin sahələri cəmi isə tam səth adlanır və tam S_tam kimi işarə edilir. Oturacaq sahəsini S_ot kimi işarə etdikdə tam səthi S_tam  S_yan  2S_ot kimi göstərmək olar. İndi düz prizmanın həcmini hesablamaq üçün düstura baxaq. Düz prizmanın həcmi onun oturacağının sahəsi ilə yan tilinin hasilinə bərabərdir. Prizmanın həcmini V_pr kimi işarə etsək, onda V_pr S_ot yazmaq olar. Xüsusi halda, 1) düzbucaqlı paralelepiped üçün V_par=S_ot AA₁ yazmaq olar. Kub üçünV_kub=a³, yəni kubun həcmi onun bir tilinin kubuna bərabərdir.

Piramidanın səthi və həcmi.

Qabarıq çoxüzlülərin mühüm növlərindən biri piramidadır. Tərif. Oturacaq adlanan üzü ixtiyari n bucaqlı, yan üzlər adlanan qalan n sayda üzləri ortaq təpəli üçbucaqlar olan çoxüzlüyə piramida deyilir.Yan üzlərin ortaq təpəsi piramidanın təpəsi, təpə nöqtəsindən oturacaq müstəvisinə perpendikulyar çəkilmiş düz xəttt parçasına piramidanın hündürlüyü deyilir. Yan üzdəki üçbucaqların yan tərəfləri piramidanın yan tilləri adlanır. Oturacaq n bucaqlının tərəflərinin sayından asılı olaraq piramida üçbucaqlı ( n  3 ), dördbucaqlı ( n  4 ) və s. piramida adlanır Piramidanın oturacağı düzgün n bucaqlı olduqda piramidaya düzgün n bucaqlı piramida deyilir. Aşkardır ki, düzgün piramidanın mərkəzi (daxilə və xaricə çəkilmiş çevrələrin ortaq mərkəzi) onun hündürlüyünün oturacağı olur (təpə nöqtəsinin ortoqonal proyeksiyasıdır). Oturacaq düzgün çoxbucaqlı olduqda yan üzlərin hamısı bir- birinə bərabər olan bərabəryanlı üçbucaqlardır. Bu halda yan üzün hündürlüyü piramidanın apofemi adlanır. Xüsusi halda, oturacaq düzgün üçbucaq olduqda piramida tetraedr adlanır. Piramidanın bütün üzləri bir-birinə bərabər olan düzgün üçbucaqlar olduqda, belə piramida düzgün tetraedr adlanır. Piramidanın səthinin sahəsi dedikdə onun bütün yan üzlərinin və oturacağının sahələri cəmi başa düşülür. Lakin bu zaman yalnız yan üzlərin sahələri cəmi olan yan səthi fərqləndirmək lazımdır. Ona görə də bütün üzlərinin sahələri cəmi dedikdə yan səthin sahəsi ilə oturacağın sahəsi cəmi kimi təyin olunan tam səthi başa düşəcəyik. Tam səthi S_tam, yan səthi S_yan, oturacağın sahəsini isə S_ot kimi işarə etdikdə S_tam  S _yan  S_ot kimi yazmaq olar. Tam səth sahəsinin tərifindən göründüyü kimi yan səthi tapmaq üçün yan üzdəki hər bir üçbucağın sahəsini tapmaq kifayətdir. Piramida düzgün olduqda (oturacaq düzgün n bucaqlı olduqda) piramidanın səthinin sahəsini tapmaq qaydası və sahə düsturu xeyli sadə olur. Çünki bütün yan üzlər bərabər bərabəryanlı üçbucaqlardır və piramidanın apofemi onların hamısı üçün hündürlükdür. düzgün piramidanın yan səthi onun oturacağının perimetri ilə apofemi hasilinin yarısına bərabərdir.

Fırlanma səthi anlayışı.

Hər hansı dəyişməz MN xəttinin tərpənməz AB düz xətttinin ətrafında fırlanmasından alınan səthə fırlanma səthi deyilir. Burada MN xəttti doğuran, AB düz xəttti ox adlanır və fərz edilir ki, fırlanma zamanı MN xəttti AB oxu ilə dəyişməz əlaqədədir. MN doğuranı üzərində götürülmüş P nöqtəsindən AB oxuna perpendikulyar endirək. Aşkardır ki, fırlanma zamanı nə bu perpendikulyarın uzunluğu, nə AOP bucağının qiyməti, nə də O nöqtəsinin vəziyyəti dəyişmir. Ona görə də doğuranın hər bir nöqtəsi çevrə cızır. Həm də bu çevrə müstəvisi AB oxuna perpendikulyar olub, çevrənin mərkəzi bu müstəvinin AB oxu ilə kəsişmə nöqtəsində olur. Bu mülahizələrdən alınır ki, fırlanma oxuna perpendikulyar olan müstəvi fırlanma səthi ilə kəsişərək, kəsikdə çevrə verir.

Silindrik səth və silindr.

Fəzada verilən istiqamətə paralel qalmaqla yerini dəyişən və verilən xətti ( MN xətti) kəsən düz xəttin ( AB düz xətti) əmələ gətirdiyi səth silindrik səth adlanır.Burada AB düz xəttti doğuran, MN xəttti isə yönəldici adlanır. Hər bir silindrik səth fırlanma oxuna perpendikulyar olan iki paralel müstəvi ilə kəsişdikdə yuxarıda qeyd edildiyi kimi kəsikdə dairələr alınır. Beləliklə, yuxarıdan və aşağıdan iki paralel müstəvilər üzərində yerləşən dairə səthləri, yanlardan silindrik səthin kəsən müstəvilər arasında qalan silindrik səth hissəsi ilə məhdud olan qapalı səth alınır. Tərif. Yuxarıdan və aşağıdan iki paralel dairə müstəviləri ilə, yanlardan paralel müstəvilər arasında qalan silindrik səthlə məhdud olan qapalı səthin əmələ gətirdiyi həndəsi fiqur silindr adlanır. Bu zaman kəsikdə alınan dairələr silindrin oturacaqları adlanır. Oturacaqları dairə olan silindr dairəvi silindr adlanır. Bu, o vaxt olur ki, kəsən müstəvi fırlanma oxuna (doğuran düz xəttə) perpendikulyar olsun. Düz dairəvi silindrik səthi düzbucaqlını bu düzbucaqlının tərəfini özündə saxlayan düz xəttt ətrafında fırlanmasından almaq olar. Ona görə də düz dairəvi silindrə aşağıdakı kimi tərif vermək praktik cəhətdən məqsədəuyğundur. Tərif. Düzbucaqlının onun tərəfini özündə saxlayan ox ətrafında fırlanmasından alınan fiqura silindr deyilir. Fırlanma oxunun oturacaqlar arasında qalan parçası (oturacaqlar arasındakı məsafə) silindrin hündürlüyü adlanır.

Düz dairəvi silindrin səth sahəsi və həcmi.

Silindrin səthi dedikdə doğuranın ox ətrafında fırlanmasından alınan silindrik səth və iki oturacaq dairələrinin səthin birləşməsi başa düşülür. Bu zaman silindrik səth ayrılıqda silindrin yan səthi adlanır. Yan səth oturacaq dairələri ilə birlikdə götürüldükdə isə tam səth alınır. Silindrin səthini dəqiq təsəvvür etmək üçün bu səthi açmaqla müstəvi fiqura çevirmək olar və bu zaman yan səth (oturacaqlar nəzərə alınmadan) düzbucaqlı verir. Bu düzbucaqlının oturacağı oturacaq dairəsi çevrəsinin uzunluğuna, hündürlüyü isə silindrin doğuranına bərabər olan düzbucaqlı verir. Aşkardır ki, bu düzbucaqlının sahəsi silindrin yan səthinin sahəsi deməkdir. Tutaq ki oturacaq dairəsinin radiusu r olan silindr verilmişdir. silindrin yan səthinin sahəsi ölçüləri h və 2πr olan düzbucaqlının sahəsi deməkdir. Beləliklə, S_yan =2π r h, yəni silindrin yan səthi onun oturacaq dairəsi çevrəsinin uzunluğu ilə hündürlüyü hasilinə bərabərdir. Tam səth üçün S_tam=S_yan+2S_ot və ya S_tam= 2π r h+2π r²=2π r(h+r) düsturu alınır. İsbat edilmişdir ki, silidrin həcmi oturacaq dairəsinin sahəsi ilə hündürlüyü hasilinə bərabərdir,yəni=S=πr² h

Konus səthinin sahəsi və həcmi

Tərif. Konik səth və təpədən bir tərəfə bütün yönəldiciləri kəsən müstəvi ilə məhdud olan cismə konus deyilir.Kəsən müstəvi ilə məhdud olan konik səth hissəsi yan səth adlanır, müstəvinin səthlə kəsişməsindən alınan müstəvi hissəsi oturacaq adlanır. Təpə nöqtəsindən oturacaq müstəvisinə endirilən perpendikulyara konusun hündürlüyü deyilir. Konusun oturacağı dairə olduqda və hündürlüyü oturacağın mərkəzindən keçdikdə konus düz dairəvi konus adlanır. Ona görə düz dairəvi konusa aşağıdakı kimi tərif vermək olar. Tərif. Düzbucaqlı üçbucağın onun kateti özündə saxlayan ox ətrafında fırlanmasından alınan fiqura düz dairəvi konus deyilir. Bu səthlə oturacaq dairəsi bütün konusun səthini verir və belə səth tam səth adlanır.Silindrin yan səthinin açılışı dairə sektoru adlanan müstəvi fiquru əmələ gətirir və aşkardır ki, belə sektorun sahəsi konusun yan səthinin sahəsi ilə üst-üstə düşür. Tərifdən asanlıqla alınır ki, konusun açılışı olan dairə sektorunun qövsünün uzunluğu oturacaq dairəsi çevrəsinin uzunluğuna, radiusu isə konusun doğuranına bərabərdir. Beləliklə, oturacaq radiusu r , doğuranı l olan konusun yan səthinin sahəsi qövsünün uzunluğu 2πr , radiusu SA  l olan dairə sektorunun sahəsinə bərabərdir.

S_yan=

Başqa sözlə, konusun yan səthinin sahəsi oturacaq dairəsi çevrəsinin uzunluğu ilə doğuranı hasilinin yarısına bərabərdir.

S_tam =S_yan +πr²= πrl+πr² və ya S_tam =πr(l+r)

İsbat edilmişdir ki, düz dairəvi konusun həcmi oturacaq dairəsinin radiusu konusun oturacaq dairəsinin radiusuna bərabər olan silindrin həcminin üçdəbir hissəsinə bərabərdir. Onda V_kon = düsturunu alırıq. Nəticə. Konusun həcmi oturacaq dairəsinin sahəsi ilə hündürlüyü hasilinin hissəsinə bərabərdir.

Sferik səth və şar (kürə).

Şar səthi (sferik səth) və şar fırlanma fiqurlarının mühüm növlərindəndir. Yarımçevrənin diametrini özündə saxlayan düz xətti tərpənməz ox qəbul etdikdə və yarımçevrə qövsünü bu ox ətrafında fırlatdıqda fırlanmadan bütün nöqtələri yarımçevrənin mərkəzindən (diametrin orta nöqtəsindən) verilmiş r məsafəsində yerləşən bir səth alınır, harda ki, r yarımçevrənin radiusudur.Belə səth sferik səth adlanır. Bu zaman yarımçevrənin O mərkəzi (fırlanma mərkəzi) səthin mərkəzi, bu nöqtədən səth üzərindəki ixtiyari nöqtəyə qədər məsafə səthin radiusu adlanır. Bu, səthi doğuran yarımçevrənin radiusudur. Aşkardır ki, təsvir olunan səth fəzanın bütün nöqtələri çoxluğunu iki altçoxluğa bölür. Bu altçoxluqlardan biri fəzanın sferik səthə nəzərən xaricdə yerləşən bütün nöqtələr çoxluğu, digəri isə fəzanın bu sferik səthlə məhdud olan bütün nöqtələr çoxluğundan ibarətdir. Sonuncu nöqtələr çoxluğuna verilmiş sferik səthin daxili oblastı deyilir. Sferik səthin özü isə bu iki altçoxluğun sərhədi adlanır. Sferik səth, özünün bu səthlə məhdud olan daxili oblastla birlikdə şar adlanır. Sferik səthin mərkəzi şarın mərkəzi, radiusu isə şarın radiusu adlanır. Aşkardır ki, yarımçevrə əvəzinə yarımdairəni onun diametri ətrafında fırlatdıqda fırlanma cismi alınır və ona şar deyilir. Həmin şarın səthi isə fırlanma nəticəsində yarımçevrə qövsünün doğurduğu sferik səthdir. Sferik səth və şarın fırlanma fiquru kimi təsvirindən asanlıqla görünür ki, bu fiqurların nəzəri-çoxluq anlayışının köməyi ilə təyin edilməsi daha sadə, aydın və həm də ümumi riyaziyyat kursu ilə məntiqi əlaqəsi daha aşkar görünür. Tərif. Fəzanın verilən nöqtədən verilən R məsafəsində yerləşən bütün nöqtələr çoxluğuna sfera deyilir. Tərif. Fəzanın verilən nöqtədən məsafələri verilən R məsafəsindən böyük olmayan bütün nöqtələri çoxluğuna şar deyilir. Şarın onun səthinə mənsub olmayan bütün nöqtələri şarın daxili nöqtələri adlanır. Xüsusi halda, kəsən müstəvi şarın mərkəzindən keçdikdə alınan dairə böyük dairə, onun çevrəsi isə böyük dairə çevrəsi adlanır. Çünki belə dairənin mərkəzi şarın mərkəzi, radiusu isə şarın radiusudur. İsbat edilmişdir ki, radiusu r olan şarın səthinin sahəsi böyük dairənin sahəsinin dörd mislinə bərabərdir, yəni S  4πr² , şarın həcmi isə onun radiusundan V_sar= πr³şəklində asılıdır.

Üçbucaq bərabərsizliyi