İzahat vəRƏQİ

Çoxluqların birləşməsi
a)Birləşmə əməli. Tutaq ki, A və B – ixtiyari iki çox­luq­dur; A və B çoxluqlarından heç olmasa birinə daxil olan elementlərdən ibarət olan C=AB çoxluğu onların bir­ləşməsi adlanır. (Element birləşməyə bir dəfə daxil olur).
Birləşmə əməlini riyazi simvolikalardan istifadə edərək, belə yaza bilərik:
AB=xx,
burada simvolu “və ya” bağlayıcısının işarəsidir.
Analoji olaraq istənilən sayda çoxluğun cəmi və ya birləşməsi təyin edilir:İstənilən (sonlu və ya sonsuz) say­da çoxluğun cəmi və ya birləşməsi - A_a - elə çox­lu­ğa de­­yi­lir ki, ona daxil olan hər bir element verilən çox­luq­lar­dan heç olmasa, birinə daxil olsun. Bunu simvolik olaraq, aşa­ğı­dakı kimi yazmaq münasibdir:
= xelə ∈ I var ki, xÎ_. 
b)Kəsişmə əməli
A və B çoxluqlarının hər birinə daxil olan ele­ment­lər­dən ibarət olan C=A∩B çoxluğu onların kə­sişməsi ad­la­nır.
Kəsişmə əməlini riyazi simvolikadan istifadə edə­rək, belə yaza bilərik:
A∩B =xx,
burada simnolu “və” bağlayıcısının işarəsidir.
Analoji olaraq: istənilən sayda A_a çoxluqlarının kə­sişməsi (hasili) – A_a - bu çoxluqların hər birinə aid olan elementlərin küllüsündən ibarət olan çoxluğa deyilir. Bunu simvolik olaraq, aşağıdakı kimi yazmaq olar:
= xbütün ∈ I üçün xÎ_.
Çoxluqların birləşməsi və kəsişməsi kommutativlik (yer­dəyişmə qanunu), assosiativlik (birləşmə qanunu), qar­­­­­­­­şılıqlı distributivlik (paylama qanunu) xassələrinə malikdir:
kommutativlik: AB = BA,
A∩B = B∩A;
assosiativlik: (AB) C = A (BC),
(A∩B) ∩ C = A ∩ (B∩C);
distributivlik: (AB) ∩ C= (A∩C) (B∩C),
(A∩B) C = (AC) ∩ (BC).
Bunlardan əlavə, aşağıdakı münasibətlər də doğ­rudur:
AØ=ØA=A;
A∩Ø=Ø∩A=Ø;
AA=A;
A∩A=A .
Çoxluqlar nəzəriyyəsində bu və ya digər düsturların iki isbat metodu var: birincisi – Eyler və ya Venn diaq­ram­­­­ları vasitəsilə, ikincisi -məntiqi mühakimə üsulu ilə.
Birinci üsulla isbat zamanı bərabərlik işarəsindən sağ­da və solda yerləşən ifadələrin təyin etdiyi çoxluqlar üçün ayrı-ayrılıqda Eyler və ya Venn diaqramları qurulur. Hə­min diaqramların təyin etdikləri oblastlar eyni olduqda bə­­ra­bərliyin doğruluğu isbat edilmiş hesab olunur.
İkinci qayda - məntiqi mühakimə üsulu ilə isbat bə­ra­­bərlik işarəsindən sağda və ya solda yerləşən ifadələrin tə­yin etdikləri çoxluqlara aid edilən ixtiyari elementin di­gər tərəfə də aid olduğu nəticəsinə gəlmək yolu ilə apa­rılır. Daha dəqiq desək, istənilən elementin bir tərəfə (ya sağ, ya da sol) aidliyindən bərabərliyin diğər tərəfinə də da­xil olması (həm sağ, həm də sol istinadlar üçün) isbat edi­lə bildikdə həmin bərabərliyin doğruluğu nəticəsinə gə­ti­rilir.Proses, aydındır ki, sağ və sol tərəflərin hər biri üçün ayrı-ayrılıqda istinadlar kimi qəbul edilmələri hallarına müvafiq olaraq, iki dəfə yerinə yetirilir.