Mühazirə-4 Mövzu: Matris anlayışı. Matrislər üzərində əməllər plan: I matris və onun növləri

Tərif:Matrisin sətrinin soldan sağa ilk sıfırdan fərqli elementinə bu sətrin aparıcı

və ya həlledici elementi deyilir.

Tərif: Aşağıdakı iki şərti ödəyən matrisə pilləli matris deyəcəyik:

1)Bütün sıfır sətrləri sıfır olmayan sətrlərdən aşağıda yerləşsin

2) aparıcı elementlərdirsə , onda olsun.

Pilləli matrisin xüsusi halı gətrilmiş pilləli matrisdir. Belə ki, pilləli matrisin əsas sütunlarindan düzəldilmiş matris vahid matris olarsa onda o gətrilmiş pilləli matrisdir. Qeyd edək ki, gətrilmiş pilləli matrisdə sıfır sətrlər mövcud deyil.

Misal: A= pilləli matris, B= gətrilmiş pilləli matrisdir.

Plan II. Elementləri F meydanından olan mxn ölçülü matrislər çoxluğunu kimi işarə edək. Xususi halda m = n olarsa n tərtibli kvadrat matrislər çoxluğunu M(n,F) kimi işarə edəcəyik. çoxluğunda bərabərlik ,cəm və skalyara hasil əməllərini aşağıdakı kimi təyin edək.

1.Uyğun nömrəli elementləri bərabər olan matrislər bərabərdir.

2. . Yəni iki eyni ölçülü matrisin cəmi elə yeni C matrisdir ki, onun elementləri kimi təyin edilsin.

3. . Yəni matrisin skalyara hasili onun hər bir elementinin bu skalyara hasili kimi təyin edilir.

Matrislərin toplanması və ədədə vurulması əməllərinin aşağıdakı xassələrini (A, B, C matrisləri, isə skalyarları göstərir) yazmaq olar:

1)A+B=B+A;

2)(A+B)+C=A+(B+C);

3)A+0=0+A=A; Burada 0-la sıfır matris işarə edilmişdir.

4)A+(-A)=0;

5) ( A) = ( )A;

6) ( )A = A + A;

7) (A + B) = A+ B ;

8)1× A = A .Birada 1 vahid skalyardır.

Yuxarıda daxil etdiyimiz əməllərin köməyi ilə 1)-8) xassələrinin doğruluğunu asanlıqla göstərmək olar. Bu xassələrin doğru olması F meydanı üzərində mxn ölçülü matrislər çoxluğunun vektor fəza olduğunu ifadə edir.

Matrislər üzərində vurma əməlinin daxil edilməsi bir qədər fərqlidir. Bu onunla

əlaqədardır ki, matrislərin vurulması komponentlər üzrə deyil, tamam başqa əsaslarla və tamam başqa parametrlərə görə müəyyən olunur. Bu məsələlər xətti fəzalar və xətti operatorlar mövzularında daha müfəssəl şərh olunacaqdır. Burada yalnız qeyd edək ki, hər bir matris birqiymətli olaraq xətti fəzanın inikasını müəyyən edir. İnikasların hasili (kompozisiyası) ilə müəyyən olunan matris isə təbii olaraq matrislərin hasili kimi qəbul olunur.

Fərz edək ki,uyğun olaraq mxn və nxp ölçülü A və B matrisləri verilmişdir. A matrisinin i-ci sətri ilə B matrisinin k- cı sütununun hasili aşağıdakı kimi təyin edilir. .Buna əsaslanaraq A və B matrislərinin hasilini aşağıdakı kimi verə bilərik.

Tərif: A və B matrislərinin hasili aşağıdakı kimi təyin olunan mxp ölçülü C matrisidir.

Tərifindən görünür ki, yalnız o matrislərin hasilinə baxmaq olar ki, hasildəki birinci matrisin sütunları sayı ikinci matrisin sətrləri sayına bərabər olsun.

Matrislərin hasilinin əsas xassələrini göstərək.

Xassə 1. Matrislərin hasili kommutativlik xassəsinə malik deyil.

Xassə 2. Matriaslərin vurulması assosiativlik xassəsinə malikdir, yəni

(AB)C = A(BC) .

Xassə 3. Vurma əməli toplamaya nəzərən paylama qanununa tabedir, yəni:

A(B +C) = AB + AC ; (A + B)C = AC + BC .

Xassə 4. İxtiyari A və B matrisləri və l skalyarı üçün

(AB) = ( A)B = A( B) .

M(n,F) kvadrat matrislər çoxluğunda 1)-8) xassələri ilə yanaşı sonuncu dörd

xassədə doğru olduğundan bu çoxluq olçüsü (ranqı) n² olan xətti cəbrdir.

Fənn: Cəbr

Müəllim :Daşqın Seyidov

İxtisas: RİM-1

Qrup:121,122

Mühazirə-5

Mövzu:Əvəzləmə.Kvadrat matrisin determinantı

PLAN:

I.Əvəzləmə.Əvəzləmələr qrupu

II.Kvadrat matrisin determinantı.

PlanI

n natural ədəd olmaqla M= şəklində sonlu çoxluğa baxaq. Bu çoxluğun əvəzləməsinə aşağıdakı kimi tərif verilir

Tərif: M çoxluğunun öz üzərinə inyektiv inikası bu çoxluğun əvəzləməsi adlanır.

M çoxluğunun hər hansı əvəzləməsi sadə şəkildə aşağıdakı kimi veriləcək:

Burada hər bir elementin aşağısında inikas olunduğu element dayanır. Tərifindən göründüyü kimi M çoxluğu sonlu qəbul edildikdə onun əvəzləmələridə birləşmələr nəzəriyyəsinə əsasən sonlu saydadır .Beləki, əgər M çoxluğunun n sayda elementi olarsa onun bütün mümkün əvəzləmələri sayı n! sayda olar. M çoxluğunun bütün mümkün əvəzləmələri çoxluğunu S_n kimi işarə edək. Bu çoxluğu n tərtibli əvəzləmələr çoxluğu adlandıracağıq. Əgər isə onda iki məsələ doğru olur

inyektivdir. Yəni ixtiyari

2) münasibəti doğrudur.

M çoxluğunun əvəzləmələrinin hasili inikasların kompozisiyası kimi icra edilir. Yəni üçün olmaqla olur. Məlumdur ki, iki inyektiv inikasın hasilidə inyektivdir deməli n tərtibli əvəzləmələr çoxluğu əvəzləmələrin hasilinə nəzərən qapalı çoxluqdur. S_n çoxluğunda eynilik əvəzələməsi kimi işarə edilir. Aydındır ki, bu əvəzləmə üçün ixtiyari əvəzləməsinə nəzərən münasibəti doğrudur. İnyektiv inikasın tərsidə inyektiv olduğundan burada ixtiyari

əvəzləməsinin tərsi

kimi təyin edilir. Yuxarıda dediklərimizi ümumiləşdirməklə aşağıdakı kimi teoremi isbat etmiş olduq.

Teorem: cəbri qrupdur.

Tərif: cəbri n tərtibli əvəzləmələr qrupu adlanır.

İndi isə xüsusi ilə determinant anlayışı üçün ehtiyacımız olan əvəzləmənini işarəsi anlayışını verək. Tutaq ki, M= çoxluğunun hər hansı

əvəzləməsi verilmişdir. Əgər fərqləri eyni işarəli olarsa, onda cütü əvəzləməsinə nəzərən düzgün adlanır. cütü əvəzləməsinə nəzərən o halda inversiya əmələ gətirir ki, fərqləri müxtəlif işarəli olsun.

Tərif: Əvəzləmədə cüt sayda inversiy olarsa ona cüt , tək sayda olarsa tək əvəzləmə deyilir.

Tərifindən görünür ki, n tərtibli əvəzləmələr qrupunun sayda tək və sayda cüt əvəzləmələri var.

Tərif: şəklində əvzləmə transpozisya adlanır.

Lemma. İstənilən transpozisya tək əvəzləmədir.

Əvəzləmənin işarəsi kimi təyin edilir. Bu təyinata əsasən biz əvəzləmənin işarəsini aşağıdakı hasillə təyin edə bilərik:

Lemma: İki əvəzləmənin hasilinin işarəsi onların işarələri hasilinə bərabərdir. Yəni

Əvəzləmənin işarəsinin aşağıdakı sadə xassələrini vermək olar.

Xassə1. Əvəzləmənin işarəsini təyin edən funksiya multiplikativdir.

Xassə2. Transposizyanın işarəsi -1-ə bərabərdir

Xassə3. İstənilən əvəzləmə ilə onun tərsinin işarəsi eynidir

Xassə4.Əvəzləmə ilə transpozisyanın hasilinin işarəsi əvəzləmənin işarəsinin əksinə bərabərdir.

Plan II.

Determinantın tərifindən bilavasitə aşağıdakı təkliflərin doğruluğunu almış oluruq

Təklif: Sifir sətri və ya sütunu olan matrisin determinantı sıfra bərabərdir.

Təklif: Dioqanal matrisin determinantı onun dioqanal elementlərinin hasilinə bərabərdir.

Təklif: Üçbucaq matrislərin determinantları onların dioqanal elementlərinin hasilinə bərabərdir.

Təklif: Vahid matrisin determinantı birə bərabərdir.

120,720 sayda hasillər və onların həmin sayda əvəzləmələrlə təyin olunan işarələrini hesablamaq lazım gəlir ki, bu da böyük hesablamalar tələb edir.

Mühazirə-6

Mövzu:Determinantın əsas xassələri. Minor və cəbri tamamlayıcı.

PLAN:

1. 
   Determinantın əsas xassələri.
   
2. 
   Minor və cəbri tamamlayıcı.
   

PLAN I:

Kvadrat matrisin determinantının hesablanması tərtibi böyük olduqda xeyli çətinləşir. Bu səbəbdən onun xassələrindən istifadə etmək daha əlverişlidir. Determinantın əsas xassələrini aşağıdakı kimi vermək olar:

həmin elementə vurular.

PLAN II:

Mühazirə-7

Mövzu:Tərs matris və hesablanması üsulları

PLAN:

I.Tərs matris,matrisin tərsinin hesablanması üsulları

II. Elementar matrislər, matrisin tərslənməsi şərti

PLAN I:

K meydanı üzərində n tərtibli kvadrat matrislər çoxluğunu sadəlik üçün K^nxn kimi işarə edək.

determinantı sıfır deyil. Şərtə əsasən elə B matrisi vardır ki, AB=E=BA. Aydındır ki, A

PLAN: II.

Matrisin qeyri-məxsusi elementar çevirmələri onu sətirlər sistemi üzərində aparılan aşağıdakı əməliyyatlara deyilir.

1. Hər hansı sətri skalyarına vurmaq

2. Hər hansı sətri skalyarına vurub digər sətrin üzərinə əlavə etmək.

Tərif. Vahid E matrisinin sətirləri üzərində bir qeyri-məxsusi elementar çevirmə aparmaqla alınan kvadrat matrisə həmin çevirməyə uyğun elementar matris deyilir.

Məsələn, iki tərtibli elementar matrislər aşağıdakılardır:

, , , ,
Sətirlər üzərində elementar çevirmələri və onlara uyğun matrisləri öyrənək.

Vahid matrisin ci sətrini skalyarına vurmaqla alınan elementar matrisi , k-cı sətrin skalyarına vurub ci sətrin üzərinə əlavə edilməsilə alınan elementar matrisi kimi işarə edək.

Məsələn, üçtərtibli vahid matrisin 2-ci sətrini -ya vurmaqla alınan elementar matris

= ,
2-ci sətri -ya vurub, 3-cü sətrin üzərinə əlavə etməklə alınan elementar matris

=

E vahid matrisinin sətirləri üzərində φ elementar çevirməsi aparmaqla alınan elementar matrisi Eφ ilə, ümumiyyətlə, A matrisinin sətirləri üzərində bir φ elementar çevirməsi aparmaqla alınan matrisi Aφ ilə işarə edək. Aşağıdakı xassələri qeyd edək:

Xassə 1. m x n ölçülü A matrisinin sətirləri üzərində φ elementar çevirməsi aparılması nəticəsində B matrisi alınmışdırsa, B = E

Qeyd edək ki, A-nın sətirlərinin sayı m olduğuna görə E elementar matrisi m tərtibli kvadrat matrisdir, odur ki, E hasili var.

İsbatı.

= = = = B.

= = = B

Xassə 2. m x n ölçülü A = ( )ⁿ_m matrisinin sətirləri üzərində sonlu elementar çevirmələr ardıcıllığı apardıqda C matrisi alınmışdırsa, onda C = .

Isbatı. Xassə 1-ə əsasən elementar çevirməsi A matrisini matrisinə, çevirməsi matrisini matrisinə, nəhayət çevirməsi matrisini matrisinə çevirir. Buradan çıxır ki, C = .

Teorem . Hər bir elementar matrisin tərsi var və elementar matrisin tərsi də elementar matrisdir.

İsbatı. Verilmiş elementar matris onun tərsi ^-1_(i) olacaqdır. Çünki –ci sətirdə və –ci sütunda -də λ, ^-1_(i)-də isə skalyarı durur ki, onların hasili 1-ə bərabər olur.

Əgər elementar matris olarsa, onun tərsi olar. Çünki –ci sətir, –cı sütunda birində λ digərində -λ durur ki, hasil nəticəsində onların cəmi sıfıra bərabər olur və baş diaqonal boyunca vahidlər, qalan yerlərdə sıfırlar olur, yəni hasil nəticəsində = E olur.

Nəticə. Elementar matrislərin hasili tərsi olan matrisdir.

Doğrudan da elementar matrislərin hasilində hər bir vuruq elementar matris olduğundan teoremə əsasən tərsi var və bu matrislərin hasilinin tərsi var.

Teorem . Sıfır sətri olan matrisin tərsi yoxxdur. Doğrudan da,əgər A matrisinin –ci sətri sıfır olsa,onda ixtiyari B matrisi üçün AB hasilinin –ci sətri = ( ) = (0, 0,..., 0) olar. Deməli, A matrisi üçün elə bir B matrisi yoxdur ki, AB = E olsun.

Teorem . Matrisin sətirləri (sütunları) üzərində elementar çevirmələr aparmaqla onu pilləli şəklə gətirmək olar və alınan pilləli matrisin sıfır sətri (sütunu) olar. əvvəlki teoremə əsasən alınan C pilləli matrisinin tərsi olmaz və

olduğundan A-nın tərsi olmaz, çünki A-nın tərsi olsa idi (1)-in sol tərəfindəki bütün matrislərin və deməli,

A-nın da tərsi olardı.

Nəticə. Kvadrat matrisin tərsi varsa, onun sətirləri (sütunları) xətti asılı ola bilməz.

Teorem . Kvadrat matrisin sətirləri (sütunları) arasında xətti asılılıq yoxdursa, onu elementar matrislərin hasili şəklində göstərmək olar.

Isbatı. Fərz edək ki, A matrisinin sətirləri arasında xətti asılılıq yoxdur. Onun sətirləri üzərində elementar çevirmələri apararaq bu matrisi diaqonal matrisə, onu da vahid matrisə gətirmək olar. Nəticədə

alarıq. Onda A = . Hasildəki matrislər elementar matrislərin tərsi olduğundan, onlar da elementar matrislər olar.

Bu deyilənlərdən nəticə olaraq aşağıdakı teoremi yaza bilərik.

Teorem . Kvadrat matrisin o zaman və yalnız o zaman tərsi olar ki, onun sətirləri (sütunları) xətti asılı olmasın.

Teorem. n tərtibli A kvadrat matrisini həmin tərtibdən olan E vahid matrisinə çevirən elementar çevirmələr ardıcıllığı varsa, bu matrisin tərsi var və həmin elementar çevirmələr ardıcıllığı E matrisini tərs matrisinə çevirir.

Isbatı. A matrisini E vahid matrisinə çevirən elementar çevirmələr ardıcıllığı olsa, onda elementar matrislərin 2-ci xassəsinə əsasən,

(1)

bərabərliyi doğrudur. A matrisin (1) bərabərliyindən çıxır ki, tərsi var. Onu sağdan -ə vursaq alarıq

= (2)

bərabərliyi göstərir ki, elementar çevirmələri E vahid matrisini tərs matrisinə çevirir. Buradan matrisin tərsini tapmaq üçün praktiki qayda alırıq. n tərtibli A matrisinin tərsini tapmaq üçün n x 2n ölçülü (A/E) düzbucaqlı matrisinin sətirləri üzərində elementar çevirmələr aparıb A matrisini E vahid matrisinə çevirmək lazımdır. Bu zaman düzəldilmiş (A/E) matrisi (E/C) şəklində matrisə çevrilər ki, nəticədə olar.