Mühazirə dərslərində müzakirə olunan mövzuların məzmunu 1

Riyazi təminat


Optimal idarəetmənin riyazi qoyuluşu.

İstənilən idarəetmə sistemi əsasən idarəetmə obyektindən və bu idarəetmə sistemini təmin edən bir sıra texniki quruluşlardan ibarətdir. Bir qayda olaraq bu quruluşlar ölçmə quruluşundan, gücləndiricidən, çevricidən və icra orqanından ibarət olur. (Şəkil 1.). Sxemdən göründüyü kimi idarəetmə obyektinin əsas çıxış koordinatlarının cari qiymətləri ölçmə blokunda ölçülərək çevrildikdən sonra idarəedici blokun girişinə verilir. Belə sistemlərə əks-əlaqəyə malik sistemlər deyilir. Lakin çıxış informasiyası sistemin idarəedici blokuna verilmədikdə, onda belə sistemə açiq sistem deyilir.

Şəkil.1. İdarəetmə sisteminin struktur sxemi
Baxılan halda idarəetmə obyektinin vəziyyəti zamanın hər bir anında n sayda dəyişənlə xarakterizə olunur ki, buna sistemin vəziyyət koordinatları deyilir. Daha münasib olsun deyə bunları n ölçülü vektorun elementləri kimi götürmək olar.

Ölçü quruluşu obyektin vəziyyəti haqqında informasiya hasil edir. Əgər ölçülən çıxış vektoru Z(t)-yə əsasən x(t) vəziyyət koordinatlarının qiymətlərini müəyyən etmək mümkün olsa, onda belə sistem tamamilə nəzarət oluna bilən sistem, əks halda isə nəzarət oluna bilinməyən sistem adlanır. Baxılan halda idarəedici quruluş U(t) idarəedici təsir hasil edir. Belə idarəedici təsirin sayı bir neçə ola bilər. Onda U(t)-ni r ölçülü vektor kimi qəbul etsək, yaza bilərik


(1)

Baxılan halda idarəedici quruluşun girişinə idarəetmə obyektinin cıxış koordinatlarının tapşırıq qiymətini xarakterizə edən x (t) də daxil olur. x (t)-yə sistemin arzu olunan vəziyyəti deyilir. İdarəetmə obyektinə nəzarət olunan və olunmayan xarici həyacanlandırıcı amillər də təsir edə bilər. İstehsal proseslərində buna misal olaraq, texnoloji prosesə emal üçün verilmiş xammalın miqdarı və onun keyfiyyət göstəricilərinin dəyişməsini göstərmək olar. Bundan başqa baxılan sistemə, məsələn, ölçmə kanallarında, ölçü cihazlarında və çevricilərdə tez-tez təsadüf edilən zərərli ünsürlər də təsir edə bilər ki, bu da sistemdə vektoru şəklində göstərilmişdir.

İdarəetmə sistemində idarəedici quruluşun vəzifəsi elə U(t)-funksiyası hasil etməkdir ki, sistemin fəaliyyəti götürülmüş optimallıq kriterisinin ödənilməsi nöqteyi nəzərdən ən yaxşı olmasını təmin etmiş olsun. İdarəetmə vektorunun müxtəlif qiymətlərini seçməklə obyektin vəziyyət vektorunun istənilən qiymətini almaq mümkündür.
İndi optimal idarəetmənin riyazi qoyuluşunu yuxarıda baxdığımız misalda şərh edək. Tutaq ki, idarəetmə obyektinin vəziyyətini yazan riyazi model aşağıdakı şəkildə verilmişdir.


; (2)
yaxud vektor yazılışı şəkilində

Burada - idarəetmə obyektinin vəziyyət vektoru; - idarəetmə vektoru;

- koordinatları və olan vektor funksiyasıdır.
Fərz edək ki, idarəetmə vektorunun dəyişdirilmə oblastına aşağıdakı şəkildə məhdudiyyət şərti qoyulmuşdur:



Burada ölçülü vektordur.
Zamanın istənilən anında oblastından kənara çıxmayan funksiyasına buraxılabilən idarə deyilir.
Baxılan obyektin idarə edilməsi üçün optimallıq kriterisini aşağıdakı formada götürək:
_{ } (3)
Burada inteqralaltı _{ } funksiyası bütün arqumentlərinə görə kəsilməz funksiyadır və _{ } dəyişənlərinə görə xüsusi törəməyə malikdir.
Yuxarıda qeyd etdiklərimizi nəzərə alsaq, optimal idarəetmənin riyazi qoyuluşunu belə söyləmək olar. Tutaq ki, faza fəzası _{ }də idarəetmə obyektinin _{ } başlanğıç və _{ } son vəziyyəti verilmişdir. Buraxılabilən idarəetmə funksiyalarından elələrinin təyin edilməsi tələb olunur ki, sistemin

Trayektoriyası verilmiş başlanğıç _{ } və son _{ } şərtlərini ödəməklə, (3) funksionalının minimal

qiymətini təmin etsin. Burada -(1) sisteminin verilmiş başlanğıc şərtində və müvafiq idarəetmə -də həllidir, _{ } isə qiymətini alana qədər keçən vaxtdır.