Template paper varehd 12
Yüklə 234,02 Kb.
|
|
a) numeric, varianta I b) numeric, varianta II a) b)
a) numeric, varianta I b) numeric, varianta II a) b)
a) numeric, varianta I b) numeric, varianta II
Figura 7.52 Tensiunile normale µ §, µ §, µ §, pe direcţia axei mari, respectiv axei mici, a elipsei de contact: numeric I (ˇŞ), numeric II (*, o, +) a) b) Figura 7.53 Tensiunea echivalentăµ §, în planul µ § a) pe direcţia axei mari a elipsei de contact b) pe direcţia axei mici a elipsei de contact CAPITOLUL 8DETERMINAREA NUMERICĂ A STĂRII DE TENSIUNI LA CONTACTUL ELASTIC CU SARCINĂ NORMALĂ ŞI TANGENŢIALĂ Efectul unei tracţiuni tangenţiale pe o arie circulară de contact asupra stării de tensiuni, a fost abordată teoretic de Hamilton şi Goodman, [Ha66], Hill şi Ashelby, [Hi82], Diaconescu, [Di75], şi numeric de Vergne, Slevoacă ş.a., [Ve92], Glovnea ş.a, [Gl92], Iacobescu ş.a., [Ia92], Frunză, [Fr96]. În formă explicită, expresiile tensiunilor interne la contactul sferic cu alunecare sunt date de către Hamilton, [Ha83] şi Hill, D.A., Nowell, D., Sackfield, [Hi93]. Goodman şi Hamilton propun ca deplasările u, v, w datorate sarcinii normale, respectiv forţei tangenţiale să se exprime cu ajutorul derivatelor a patru funcţii de tensiuni. Expresiile tensiunilor se obţin din deplasări cu ajutorul legii generalizate a lui Hooke. În teză sunt prezentate expresiile analitice ale componentelor tensorului tensiune, datorate atât sarcinii normale, cât şi forţei tangenţiale orientată dupa axa Ox, deduse de Hamilton, reluate de Hill, [Hi93], utile în validarea modelului numeric asociat analizei stării de tensiuni la contactul elastic cu sarcină normală şi tangenţială. Determinarea numerică a stării de tensiuni în punctele semispaţiului elastic are la bază utilizarea succesivă a principiului suprapunerii efectelor şi rezultatele obţinute la încărcarea semispaţiului elastic cu sarcină normală distribuită pe un domeniu dreptunghiular, respectiv, încărcarea cu sarcină tangenţială distribuită, [Cr02]. Solicitarea tangenţială, uniform distribuită pe celulă, este direct proporţională cu sarcina normală, prin coeficientul de frecare µ §. Modelarea propusă are în vedere: calculul componentelor tensorului tensiune pe planul limitrof, în adâncime şi pe axa centrală a contactului; starea de tensiuni datorată sarcinii normale, forţei tangenţiale orientată pe direcţia axei x şi efectul cumulat al celor două solicitări; analiza comparativă a rezultatelor obţinute în procesul modelării. Se pun în evidenţă următoarele etape: se introduc noi funcţii de potenţial, specifice prezenţei solicitării tangenţiale orientată după axa x; condiţiile la limită se scriu pentru puncte aflate pe planul limitrof al semispaţiului elastic şi se referă la inexistenţa încărcării normale, inexistenţa încărcării tangenţiale orientată după axa y, existenţa încărcării tangenţiale după axa x şi distribuită pe un domeniu D; se determină relaţiile de legătură între noile funcţii de potenţial şi funcţiile de potenţial introduse la solicitarea normală; se scriu componentele vectorului deplasare, datorate încărcării tangenţiale (formulele lui Cerruti), în raport cu derivatele funcţiilor de potenţial specifice încărcării normale; se determină componentele tensorului tensiune, datorate încărcării tangenţiale (legea lui Hooke); se determină tensiunea echivalentă Huber-Missis-Hencky. Pentru validarea modelului numeric se consideră contactul hertzian circular cu alunecare dintre două corpuri sferice, de raze µ §, respectiv µ §, caracterizate prin constantele elasticeµ §, µ §. Sarcina de apăsare este µ §, iar forţa tangenţială orientată după direcţia x este proporţională cu sarcina normală, prin coeficientul de frecare µ §. Aria estimată de contact este dată de un pătrat cu latura µ §, divizat în 1225 domenii elementare. Sunt realizate codurile calculator tensa2.m şi tensn3.m, în mediul de programare Matlab, pentru analiza stării de tensiuni la contactul sferic cu alunecare. Reprezentările grafice date în Fig. 8.25, Fig. 8.27, Fig. 8.29 pun în evidenţă variaţia tensiunii echivalente µ §, în punctele planului limitrof şi concordanţa rezultatelor modelării.
a) analitic b) numeric Figura 8.25 Tensiunea echivalentă µ § produsă în planul limitrof de sarcina normală, distribuţii spaţiale a) analitic b) numeric Figura 8.27 Tensiunea echivalentă µ § produsă în planul limitrof de forţa tangenţială, µ §, distribuţii spaţiale a) analitic b) numeric Figura 8.29 Tensiunea echivalentă µ § produsă în planul limitrof de sarcina normală şi forţa tangenţială, µ §, distribuţii spaţiale În teză sunt puse în evidenţă valorile maxime, repectiv minime ale componentelor tensorului tensiune, datorate sarcinii normale, forţei tangenţiale şi efectului cumulat al celor două solicitări, într-un plan paralel cu planul limitrof al semispaţiului elastic, aflat la distanţa µ §. S-a constatat o bună concordanţă între rezultatele determinate pe cale analitică, respectiv numerică. Dintre reprezentările grafice care pun în evidenţă variaţia tensiunilor şi concordanţa rezultatelor modelării, se selectează cele care fac referire la tensiunea echivalentă:
Figura 8.64 Tensiunea echivalentă µ § produsă de sarcina normală la adâncimea µ § m, pe direcţiile axelor
Figura 8.66 Tensiunea echivalentă µ § produsă de forţa tangenţială, µ § la adâncimea µ § m, pe direcţiile axelor
Câteva reprezentări grafice ale modelării sunt puse în evidenţă în Fig.8.70, Fig.8.74, Fig.8.76 şi Fig.8.77. Figura 8.70 Variaţia tensiunilor normale principale şi a tensiunii echivalente µ § pe axa z, produse de încărcarea normală: numeric [o, *, +] şi analitic [---] Figura 8.74 Variaţia tensiunilor normale µ §, respectiv, octaedrice, pe axa z produse de încărcarea normală: numeric [o, *] şi analitic [---] Figura 8.76 (8.77) Tensiunea tangenţială µ § produsă de forţa tangenţială şi tensiunea echivalentă µ §pe axa z, produsă de sarcina normală, forţa tangenţială şi efectul cumulat al celor două solicitări, µ § CAPITOLUL 9METODA GRADIENTULUI CONJUGAT ŞI TRANSFORMATA FOURIER RAPIDĂ ÎN REZOLVAREA PROBLEMELOR DE CONTACT ELASTIC (CG+DC-FFT) Utilizarea unor reţele de discretizare cu un mare număr de noduri face ca soluţionarea problemelor de contact elastic prin metode convenţionale să fie prohibitivă datorită efortului de calcul necesar. În scopul depăşirii acestui incovenient, au fost dezvoltate tehnici numerice rapide, precum multiintegrare multinivel (MLMS ) şi transformata Fourier rapidă (FFT). Tehnica transformatei Fourier, combinată cu o schemă iterativă bazată pe metoda gradientului conjugat, a fost studiată de Nogi şi Kato (1977), Polonsky şi Keer [Po00b], Creţu, [Cr03]. În teză sunt prezentate: formularea analitică şi formularea discretă a problemei contactului elastic normal; algoritmul pentru determinarea ariei reale de contact şi a distribuţiei de presiuni, adaptare după [Po99]; validarea codului calculator asociat. Au fost realizate subprograme funcţii în mediul de programare Matlab, cu ajutorul cărora se rezolvă numeric probleme generale de contact elastic. Contactul sferei de rază µ § cu sfera de rază µ § În Fig. 9.1-9.2 sunt reprezentate grafic geometria corpurilor şi distribuţia presiunii de contact dată de modelul numeric, respectiv analitic (Hertz). Figura 9.1 Geometria corpurilor în contact şi distribuţia axială a presiunii de contact (numeric şi analitic), 256x256 Figura 9.2 Distribuţia spaţială a presiunii de contact, model numeric, respectiv analitic (Hertz), 256x256
În Tab. 9.1 se prezintă, selectiv, comparaţii între diferite metode de calcul, cu privire la timpul şi precizia soluţiei în funcţie de numărul de noduri ale reţelei de discretizare. Codul calculator a fost rulat pe un computer cu memorie 512 MB şi procesor 3.2 GHz. Tabel 9.1 Comparaţii între metodele de calcul MetodaNumăr de puncte al reţeleiTimp de calcul [sec]EroareGauss35x35 (1089)17,14µ §Cholesky35x35 (1089)6,00Gauss-Seidel25x25 (625)536,9µ §Gradient Conjugat (CG)32x32 (1024)3,13µ §Gradient Conjugat şi Transformata Fourier Rapidă (CG+DC-FFT)128x128 (16384) 256x256 (65536) 512x512 (262144)9,55 44,32 214,87
Problema înlocuirii generatoarei rectilinii a unuia dintre cilindrii în contact printr-o generatoare curbilinie, care să asigure o repartiţie uniformă a presiunii maxime în lungul contactului constitue o temă mult studiată în literatura de specialitate. Profilul logaritmic propus de Lundberg, [Lu39], reprezintă prima abordare teoretică a problemei. Pentru modelarea numerică a profilului Lundberg, se consideră problema de contact elastic propusă de Hartnett, [Ha79]. Forma simplificată a profilului logaritmic propus de Lundberg se obţine în cazul unor ipoteze simplificatoare, problema restrângându-se la zona centrală a contactului. În Fig. 9.5 sunt prezentate grafic rezultate ale modelării în cazul profilului Lundberg, forma simplificată. Figura 9.5 Distribuţia spaţială şi în lungul axei x a presiunii de contact, model numeric, CG+DC-FFT, 512x32 Forma integrală a profilului Lundberg Renunţând la ipotezele simplificatoare din cazul anterior, se determină profilul Lundberg sub formă integrală care asigură (teoretic) o repartiţie uniformă a presiunii maxime în lungul contactului. Modelarea numerică propusă în teză realizează calculul integralelor din expresiile geometriei de contact cu metoda adaptiv-recursivă Newton Cotes de ordinul 8, ţinând seama şi de faptul că funcţiile prezintă singularităţi. Forma integrală a profilului Lundberg, prelucrată numeric, menţine concentrarea presiunilor la extremităţile contactului, dar efectul de capăt este mai puţin pronunţat, în comparaţie cu corecţia profilului iniţial, varianta simplificată propusă de Lundberg (µ § ¨C forma integrală, respectiv 2639 MPa în varianta simplificată). Ecuaţia integrală a contactului elastic şi condiţia de echilibru, rezolvate numeric, conduc la rezultatele grafice prezentate în Fig. 9.8 ¨C 9.10. Figura 9.8 Distribuţia spaţială şi în lungul axei x a presiunii de contact, model numeric, CG+DC-FFT, 512x32 Contactul dintre corpuri mărginite de suprafeţe CASSINI Reprezentările grafice din Fig. 9.13 ¨C 9.14, pun în evidenţă geometria iniţială de contact şi distribuţia spaţială a presiunii de contact. Se constată că punctele care reprezintă focarele ovalelor lui Cassini se comportă ca puternici concentratori de presiune. Figura 9.13 (9.14) Geometria contactului echivalent şi distribuţia spaţială a presiunii de contact, 128x128 Contactul dintre corpuri mărginite de suprafeţe PEANO Se modelează numeric contactul echivalent dintre un corp mărginit de o suprafaţă Peano şi semispaţiul elastic. Reprezentările grafice din Fig. 9.16 ¨C 9.17, pun în evidenţă geometria iniţială de contact şi distribuţia spaţială a presiunii de contact. Rezultă că punctele contactului iniţial se comportă ca puternici concentratori de presiune. Figura 9.16 (9.17) Geometria contactului echivalent şi distribuţia spaţială a presiunii de contact, 128x128 CAPITOLUL 10CONCLUZII FINALE, CONTRIBUŢII ŞI DIRECŢII DE CERCETARE ULTERIOARĂ CONCLUZII FINALE Din analiza tezei, se deduc, structurate pe capitole, următoarele concluzii generale.
Sinteză privind teoria generală a contactului elastic Se pune în evidenţă cadrul teoretic general în care au sens şi pot fi rezolvate problemele întâlnite în mecanică, inclusiv cele legate direct de tema tezei. Sunt prezentate noţiunile de bază, ipotezele şi ecuaţiile fundamentale ale teoriei Elasticităţii Liniare, reprezentări generale ale soluţiilor ecuaţiei lui Lamé, problemele clasice ale semispaţiului elastic (Boussinesq, Cerruti, Boussinesq-Cerruti, Flamant) şi principiul suprapunerii efectelor. Se determină deplasările punctelor planului limitrof pe direcţie normală, generate de încărcări particulare ale semispaţiului elastic (sarcini distribuite pe fâşii infinit lungi de lăţime constantă, distribuţii de sarcini pe arii eliptice şi, în particular, circulare). Sunt puse în evidenţă aspecte generale ale rezolvării problemelor de contact (condiţia de deformaţie la un contact oarecare, contactul echivalent, probleme la limită ale semispaţiului elastic), metode specifice de rezolvare şi o sinteză a diverselor clasificări ale contactelor întâlnite în literatura de specialitate, funcţie de criteriile avute în vedere. Capitolul 2 Soluţii analitice şi soluţii numerice utilizate în teoria contactului elastic Sunt prezentate condiţiile definitorii ale contactului hertzian şi relaţiile analitice care exprimă elementele contactului; de asemenea, se prezintă o sinteză cronologică privind abordările analitice ale problemelor de contact. Fenomenele fizice din ştiinţă şi tehnică pot fi modelate prin ecuaţii diferenţiale, ecuaţii integrale sau integro-diferenţiale; soluţiile analitice fiind limitate la un număr redus de cazuri concrete, se apelează la metode numerice, care permit determinarea parametrilor modelului în anumite puncte prestabilite. Se prezintă stadiul actual al modelării numerice în teoria contactului elastic, punându-se în evidenţă clase de metode numerice utilizate: metode de integrare directă, metoda diferenţelor finite, metoda elementului finit, metoda elementului de frontieră, metoda împerecherii punctelor, metode parţiale, metode şi tehnici rapide. Capitolul se încheie cu precizarea direcţiilor de cercetare ale tezei. Capitolul 3 Modelarea numerică a contactului elastic normal pe baza metodei coeficienţilor de influenţă, varianta clasică Se prezintă, mai întâi, modelul matematic asociat unei probleme de contact elastic normal (ecuaţia integrală a contactului, de echilibru static, condiţii de continuitate). În vederea definirii modelelor numerice, se propun variante de discretizare automată a ariei estimate de contact (cu pas variabil, uniformă sau impusă). Se propun două variante de modelare numerică, după cum ecuaţia de echilibru static este inclusă în sistemul presiunilor sau se află în afara acestui sistem; Se evidenţiază etapele algoritmilor de rezolvare a modelelor numerice propuse. Ultimul subcapitol prezintă funcţiile procedurilor automate, componente ale codului calculator scris în Matlab. Capitolul 4 Validarea modelării numerice propuse prin rezultate analitice şi experimentale existente Modelarea numerică a oricărui proces sau fenomen este acceptată numai în cazul în care rezultatele ei sunt validate prin alte abordări analitice, numerice sau experimentale. Validarea modelării numerice a problemelor de contact elastic este realizată atât pe baza contactelor hertziene, cât şi a altor contacte elastice pentru care există soluţii analitice în literatura de specialitate. Modelarea numerică a contactului conform circular este validată şi pe baza rezultatelor experimentale din literatura de specialitate. Capitolul 5 Modelarea numerică a contactului elastic normal prin extinderea ariei de contact Pentru determinarea elementelor contactului elastic, se propune extinderea ariei de contact, ca alternativă la varianta clasică a metodei coeficienţilor de influenţă. Validarea metodei şi a codului calculator asociat se realizează pe baza contactelor hertziene şi a altor contacte pentru care există soluţii analitice. Din analiza numerică comparativă rezultă că varianta clasică a metodei oferă rezultate mai apropiate de cele analitice, în toate cazurile analizate; varianta extinderii ariei de contact oferă soluţii acceptate în tehnică şi poate reprezenta o alternativă în rezolvarea problemelor de contact elastic. Capitolul 6 Analiza numerică a contactului liniar de lungime finită; Validare experimentală În cazul contactului liniar de lungime finită apare fenomenul de intensificare a presiunii la capete (efect de capăt), cu diminuarea capacităţii de încărcare a contactului. Se analizează efectul profilului longitudinal asupra elementelor contactului elastic. Au fost modelate următoarele soluţii de atenuare a efectului de capăt: bombarea completă, bombarea parţială, profilarea prin trei arce de cerc, profilarea prin cinci arce de cerc. Validarea modelării propuse este realizată pe baza rezultatelor numerice obţinute de Hartnett, [Ha79] şi J. de Mul, [Mu86]. Modelarea numerică are în vedere geometria nominală a suprafeţelor în contact, definită pe subdomenii, cu respectarea condiţiilor de tangentă continuă în toate punctele de racordare. Concordanţa între predicţiile numerice şi măsurătorile experimentale, arată că metoda de investigare experimentală prin profilometrie cu laser, (Glovnea, [Gl99], Glovnea şi Diaconescu, [Gl04]) poate fi aplicată contactului liniar de lungime finită. Capitolul 7 Determinarea numerică a stării de tensiuni la contactul elastic normal Starea elastică din fiecare corp este o problemă de semispaţiu elastic, ambele corpuri fiind asimilate prin semispaţii elastice. Pe baza algoritmului general, au fost realizate proceduri automate privind calculul componentelor tensorului tensiune, în două variante: calcul analitic al integralelor din expresiile funcţiilor de potenţial; aproximarea integralelor din expresiile funcţiilor de potenţial prin sumele integrale corespunzătoare. În cazul contactului hertzian rezultă o bună concordanţă între rezultatele determinate pe cale numerică şi cele analitice. În cazul contactului nehertzian studiat, din lipsa unei soluţii analitice, validarea rezultatelor s-a realizat pe cale numerică, pe baza a două coduri calculator asociate celor două modalităţi de determinare a componentelor tensorului tensiune. Au fost determinate, pe cale numerică, tensiunile din corpurile în contact în următoarele variante: pe aria eliptică, sub aria de contact, la o anumită distanţă de planul limitrof al semispaţiului elastic şi pe axa centrală a contactului. Capitolul 8 Determinarea numerică a stării de tensiuni la contactul elastic cu sarcină normală şi tangenţială Se prezintă expresiile analitice ale componentelor tensorului tensiune, datorate atât sarcinii normale, cât şi forţei tangenţiale orientată după axa Ox, [Hi93], utile în validarea modelului numeric. Solicitarea tangenţială este uniform distribuită pe celulă şi direct proporţională cu sarcina normală, prin coeficientul de frecare µ §. Determinarea numerică a stării de tensiuni în punctele semispaţiului elastic are la bază utilizarea succesivă a principiului suprapunerii efectelor şi rezultatele obţinute la încărcarea semispaţiului elastic cu sarcină normală distribuită pe un domeniu dreptunghiular, respectiv, încărcarea cu forţă tangenţială distribuită. Modelarea propusă are în vedere: calculul componentelor tensorului tensiune pe planul limitrof, în adâncime şi pe axa centrală a contactului; starea de tensiuni datorată sarcinii normale, forţei tangenţiale orientată pe direcţia axei x şi efectul cumulat al celor două solicitări; analiza comparativă a rezultatelor obţinute în procesul modelării; Capitolul 9 CG+DC-FFT în rezolvarea problemelor de contact elastic Soluţia unui sistem cu un număr mare de ecuaţii prin algoritmi convenţionali necesită un timp de lucru prohibitiv, chiar pe calculatoare moderne. Algoritmul CG+DC-FFT este suficient de rapid chiar pentru discretizări fine ale domeniului estimat de contact. Metoda gradientului conjugat dispune de o demonstraţie matematică riguroasă a convergenţei. Validarea algoritmului şi a codului calculator aferent au fost realizate pe contactul sferă ¨C sferă şi pentru profilul Lundberg (forma simplificată, forma integrală). Tabelul comparativ al metodelor utilizate pune în evidentă superioritate tehnica CG+DC-FFT cu privire la timpul calculator necesar rezolvării problemelor de contact elastic. Codul calculator aferent modelării numerice este aplicat şi altor tipuri de contacte (corpuri mărginite de suprafeţe Cassini sau suprafeţe Peano). Metoda CG+DC-FFT prezintă avantajul că poate fi utilizat un număr mare de noduri, ceea ce o face aplicabilă la contactul suprafeţelor rugoase.
Reprezentările generale pentru soluţia ecuaţiei vectoriale a lui Lamé; Problemele la limită ale semispaţiului elastic; Clasificarea contactelor; Teoria clasică a contactului elastic între suprafeţe netede; Metodele numerice în teoria contactului elastic; Starea de tensiuni la contactul elastic normal; Starea de tensiuni la contactul elastic cu sarcină normală şi tangenţială; Metodele şi tehnicile rapide în teoria contactului elastic. Sistematizarea şi prezentarea într-o formă unitară a problemelor clasice asociate semispaţiului elastic. Formularea modelului matematic general asociat unei probleme de contact elastic normal. Propunerea unei discretizări cu pas variabil, cu dimensiunile celulelor în progresie aritmetică descrescătoare către zone cu gradienţi mari de presiune. Precizarea unor formule de dimensionare optimă a ariei estimate de contact. Determinarea tuturor reprezentărilor analitice explicite ale suprafeţelor nominale care intervin în problemele de contact analizate în teză. Formularea a două variante de model numeric asociate metodei coeficienţilor de influenţă ¨C varianta clasică, după cum ecuaţia de echilibru este inclusă sau nu în sistemul liniar în presiuni. Studiul sensibilităţii soluţiei sistemului în presiuni, prin analiza numărului de condiţionare ataşat. Propunerea extinderii ariei de contact la rezolvarea problemelor de contact elastic, ca variantă a metodei clasice a coeficienţilor de influenţă. Ridicarea unor nedeterminări, din formulele date de Hills, [Hi93], la calculul analitic al tensiunilor din interiorul semispaţiului elastic, datorate forţei tangenţiale. Contribuţii la modelarea numerică Evidenţierea fazelor importante ale unui demers numeric: analiză, programare, implementare, validare. Realizarea unui program de calcul principal, asociat metodei coeficienţilor de influenţă ¨C varianta clasică, interactiv, având în componenţă proceduri automate cu următoarele funcţii: precizarea datelor iniţiale ale problemei de contact elastic: tipul suprafeţelor în contact; numărul celulelor de discretizare pe direcţii axiale; dimensiunile ariei estimate de contact; varianta de discretizare; modul de calcul al coeficienţilor de influenţă; varianta de model numeric; metoda de rezolvare a sistemului; elementele geometrice ale suprafeţelor în contact, constantele elastice ale materialelor componente şi sarcina normală aplicată; discretizarea automată a domeniului estimat de contact, în variantele: cu pas variabil, uniform sau impus (elementele de arie au dimensiuni prestabilite); Yüklə 234,02 Kb. Dostları ilə paylaş:
|