Discussion

Spielstrategien A (Ausbeuter) B C

Häufigkeiten: p q r r := (1pq)

Relative Fitness 1 + aq 1 1+q+r

a = Ausbeutungsgrad > 1, beliebig hoch. D.h. A profitiert sehr stark von B, aber weder von C noch von sich selbst. C profitiert auch von B, aber weniger als A von B profitiert, dafür profitiert C auch von sich selbst.

Das resultierende simultan-rekursiven Differenz­gleichungs­system lautet (PG ist die Populationsgrösse 10ⁿ; es wird gerundet auf die n.te Stelle hinter dem Komma, und reales Aussterben zu erhalten):

p(n) = round((p(n-1)*(1+A*q(n-1))) / (p(n-1)*(1+A*q(n-1))+q(n-1)+(1-p(n-1)-q(n-1))*(2-p(n-1))) * PG) / PG;

q(n) = round(q(n-1) / (p(n-1)*(1+A*q(n-1))+q(n-1)+(1-p(n-1)-q(n-1))*(2-p(n-1))) * PG) / PG;

r(n) = round((1-p(n-1)-q(n-1)) * PG) / PG;

Die Simulation, diesmal in Matlab 6.0, führt zu folgenden Ergebnissen:


Ausbeutungsgrad: a = 5

C erholt sich schnell, wenn

B ausgestorben ist


Ausbeutungsgrad a = 14,99

C erholt sich erst extrem spät,

nachdem B längst ausgestorben ist

Ausbeutungsgrad a = 15

Ab diesem Ausbeutungsgrad

erholt sich C nicht mehr; nun

setzt sich langfristig A durch.

(auch wenn die Generationszahl

beliebig erhöht wird)

Das das iterierte Gefangendilemma in der Tat zu chaotischen Verläufen führen kann, zeigt eine SImulation der Simulationsserie von Arnold, durchgeführt mit allen 2⁵ = 32 möglichen 5 bit Strategien, die sich jeweils den vorausliegenden Zug von sich selbst und des Opponenten merken können:

Legende: Das erste Zeichen zeigt an, wie im ersten Zug gespielt wird – hier D für kooperativ ('dove') und H für egoistisch ('hawk'). Jede Strategie besitzt (ab dem 1. Zug) zwei Zustände, die anzeigen, was die Strategie gerade spielt  D und H genannt. Jedes der vier weiteren Felder zeigt folgendes an:

Feld Strategie ist im Opponent hat zuletzt Strategie wechselt in Zustand: gespielt: Zustand und spielt:

2 D D

3 D H

4 H D

5 H H

Siehe Tit for Tat = DDHDH zur Illustration. Tweedledee = DDHDD z.B. hört nach jeder Bestrafung auf zu bestrafen, d.h. es fängt an wie TFT, geht wenn Opponent H spielt, ebenfalls H und geht in Zustand H (Feld 3); sobald es aber zuvor im Zustand H war, spielt es egal was der Opponent tut wieder D (Felder 4,5) und geht in Zustand D.

Chaotische Evolutionsszenarien als Folge von interaktiver Häufigkeitsabhängigkeit zwischen Populationen wurden übrigens auch in der Biologie gefunden und simuliert. May (1987) beschreibtmathematisch eine Insektenpopulation, die durch ein lethales Pathogen infiziert wird, z.B. ein Virus, der epidemisch jede Generation infiziert; man nimmt einen bestimmten Prozentsatz an der stirbt, ein anderer lebt weiter. Die Rate der Populationsgrößen wird komplett unvoraussagbar, obwohl durch die simple Differenzgleichung beschrieben:

N_n+1 = r.N_n(1 I_n)

(1I_n) = 1 exp(I_nN_n/N_max) ?? nachsehen

N_n = Absolute Grösse der Insektenpopulation (zum Zeitpunkt/Generation n)

r = Vermehrungsrate der Insekten ohne Pathogen

I_n = infizierter Prozentsatz (in Generation n)

N_crit = Schwellenpopulationsgröße, wenn N_n < N_crit, kann sich das Pathogen nicht mehr ausbreiten.

Die erste Gleichung beschreibt die Vermehrung der Insekten: der infizierte Anteil I_nN_n gelangt nicht zur Reproduktion und vermehrt sich nicht. Die zweite Gleichung beschreibt Infektionsrate: der nicht infizierte prozentsatz 1I_n ist eine negative –exponentielle Funktion von I_n mal dem Verhältnis von N_n zu N_crit  diese Gleichung hat nur Lösungen I_n > 0 für N_n > N_crit; dies Lösungsfunktion wird aber komplett chaotisch, ähnlich wie die logistische Abbildung (s. oben):
Abb. xx (May 33. Fig 1).

1 Warum? – das ist eine interessante Frage. Es war durchgehende Wissenschaftspraxis des Mittelalter, Wissen auf Autoritäten zu stützen. Immerhin war Platon durchwegs christlich rehabilitiert und als Autorität der christlichen Gelehrten akzeptiert, und Aristoteles, der Schüler Platons, schien in Wissen und Argumentationsstärke alles bisher Dagewesene zu übertreffen. Es steht aber noch mehr dahinter: es war eine schon von Augustinus vertretene und später von Thomas von Aquin ausformulierte Überzeugung, dass sich Vernunftwahrheiten und Offenbarungswahrheiten nicht in Widerspruch befinden. Diese Lehre von Aquin ist noch heute Grundlage des offiziellen katholischen Christentums (vgl. die Enzyklika Fides et Ratio von Papst Johannes Paul II, 9-12, 30-40). Denn Gott hat dem Menschen die Vernunft letztendlich deshalb gegeben, um über die Vernunftwahrheiten schließlich zu Offenbareswahrheiten vorzudringen (zumindest war das das Modell der Dominikaner, denen auch Albertus Magnus und Thomas von Aquin angehörte, während die Franziskaner daran zweifelten). Nachdem aber Aristoteles im Gebiet der Vernunftwahrheiten unbestrittene Autorität innewohnte, war es vordringliche Aufgabe der christlichen Mönche, durch Interpretationskunststücke die harmonische Vereinbarkeit mit der Offenbarungswahrheit der biblischen Lehre zu demonstrieren.

2 Von dieser Anzahl muss genau genommen jene Mindestanzahl von Taxonen abgezogen werden, die man benötigt, um das Taxon zu identifizieren; die so erhaltene Zahl drückt die Zahl der voraussagbaren Merkmale eines Taxons aus (Schurz xx).

3 Genau genommen gibt es zwei Varianten der Prototypentheorie. Die oben erläuterte und von mir bevorzugte Variante charakterisiert Prototypen über eine Liste typischer Merkmale und Artzugehörigkeit über den Grad des Besitzens all dieser prototypischen Merkmale. Die zweite Variante (die historisch die ursprünglichere ist), charakterisiert Prototypen über einige prototypische Individuen und charakterisiert Artzugehörigkeit über eine Ähnlichkeitsrelation mit diesen prototypischen Vertreter (s. xx).

4 Man spricht oft von Darwins Finken (Finches), aber wie Mayr hervorhebt, waren es zuerst Mockingbirds; später wurden auch Finken untersucht.

5 Nach heutigen Wissen ist Archaeopterix ausgestorben; die Vögel entwickelten sich nicht direkt daraus, aber vermutlich aus einer verwandten Stammlinie.

6 So als ob die Strömung des Wassers die Fischflossen, oder der Steppenboden die Pferdehufe geformt hätte. Ein solcher übersteigerter Adaptionismus wird teilweise bis in die längste Zeit vertreten (vgl. Lorenz xx, Wickler xx).

7 Man berechnet dies über die Gegenwahrscheinlichkeit, dass bei N unabhängigen Mutationen an verschiedenen Individuen das p-Ereignis nicht eintritt  sie beträgt (1p)^N, und dies ist gemäß verallgemeinertem Binominalgesetz identisch mit 1  Np + (N-über-2)p²    (N-über-N-1)p^N-1 + p^N. Für kleine p's kann man alle höheren p-Potenzen als p¹ vernachlässigen (insbesondere, weil sie sich auch gegenseitig kompensieren), und erhält als Schätzung der Gegenwahrscheinlichkeit 1Np; somit als Schätzung der Wahrscheinlichkeit Np. Der Ausdruck (1Np) ist nur für N < 1/p sinnvoll; für über 1/p hinauswachsende N konvergiert die Gegenwahrscheinlichkeit gegen Null.

8 In der Geologie sind Bezeichnungen für erdgeschichtliche Perioden üblich, die sich aus gewissen Fundstätten ableiten  die wichtigsten: Präkambirum (-600), Kambrium (600-500), Ordovizium (500-440), Silur (440-400), Devon (400-345), Karbon (345-265), Perm (265-220), Trias (220-180), Jura (180-135), Kreide (135-70), Tertiär (70-2). (Ridley 625)

9Wesentlich dabei ist, dass das zu kopierende System eines einer bestimmten Anordnung von kleinsten Teilen besteht, von denen es nur wenige Varianten gibt (z.B. die Graustufen oder Farbstufen von Bildpunkten endlicher Grösse beim Fotographieren oder Einscannen, oder die vier Nukleotide beid er DNS-Replikation), welche durch einen geeigneten Mechanismus in einer bestimmten meist seriellen Reihenfolge durchfolgen und jeweils verdoppelt werden.

10 In Mischdisziplinen zwischen Geistes- und Naturwissenschaften, wie etwa der Analytischen Philosophie, kommt es diesbezüglich immer wieder zu Kuriosa: ich erinnere mich beispielsweise, als mich einst ein eher der traditionellen Philosophie zugehöriger und hochrenommierter Philosoph einer Berufungskommission daraufhin testen wollte, ob ich etwas von höherer Logik verstünde. Zu diesem Zweck befragte mich, ob ich das Erscheinungsdatum von Gödels Beweis wüsste und etwas daraus zitieren könnte. Zu meiner Beschämung zeigte ich mich dabei unsicher  ich hätte ihm zwar den Gödelschen Beweis in heutiger Lehrbuchform aufschreiben können und bot ihm das auch an, aber das hat ihn nicht beeindruckt, da er den eigentlichen Beweis, wie er selbst ohne Umschweife bekannte, ohnedies nicht verstand.

11Mathematisch bedeutet asymptotische Stabilität: >0s,s'S t0: |s(t)s'(t)|  . In Worten: Für jedes noch so kleine  gibt es einen Zeitpunkt t, sodass sich zwei Systeme in beliebig weit voneinander entfernter Anfangszuständen zur Zeit t bis auf  nahe­gekom­men sind (s. Haken 1983, 132).

12 Formal erfüllen solche Trajektorien die sogenannte Lyapunov-Stabilität (vgl. Suppes 1985, 192; Schurz 1996b,134). Sei S = {s:DTRⁿ} der Trajektorienraum über dem Zustandsraum Rⁿ, dann besagt Lyapunov-Stabilität: >0>0 s,s'S t0: |s(0)s'(0)| <   |s(t)s'(t)| < . In Worten: für jedes noch so kleine  gibt es ein hinreichend kleines sodass sich zwei Systeme, deren Anfangszustand um nicht mehr als  voneinander abweicht, für beliebige weitere Zeiten nicht mehr als  voneinander abweichen werden.

13 Mathematisch erfüllen divergente Trajektorien folgende Bedingung: >0>0 s,s'S t0: |s(0)s'(0)| <   |s(t)s'(t)|   (s. Suppes 1985, 192). In Worten: für jedes beliebig große  und noch so kleine  gibt es zwei Systeme s, s' und einen Endzeitpunkt t, sodass der Endzustand beider Systeme um  voneinander abweicht. Eine stärkere Form von Divergenz ist die so­ge­nann­te exponentielle Divergenz, worin die Trakjektorienabweichungen exponentiell mit der Zeit zuneh­men (Schurz 1996b, 135f).

14Peitgen et al. (1998), Ruelle (1991), Düsberg (1995); zu chaotischen Populations­dynamiken in der Biologie s. May (1987).