Геометрия до Евклида

A₁, A_2,...A_t, (1)
biz aniq shakllantiramiz.
Shunday bo'lishi mumkinki, aloqalarning bitta tizimi ham yo'q , ..., (ya'ni E, F, G (j=1, 2, ..., k) to'plamlarining Kartes _{mahsulotlarining} bitta ham subsets i tizimi emas, balki bir nechta). Mana oddiy misol.
Haqiqiy sonlarning to'plami R ustida algebraik operatsiya bo'lsin (yuqorida operatsiyani R ³ munosabat deb hisoblash mumkinligi qayd etildi va biz bu munosabat A 1 ning faqat bitta mulkiga ega bo'lishini talab qilamiz, kommutativlik xossasi: har qanday ikki son uchun a,b R ( a,b )R to'plamida ikkita kommutativ operatsiya ko'rsatilishi mumkin (ega bo'lgan munosabatning ikki qiymati A₁): ^/ qo'shimcha bo'lib , haqiqiy sonlarning ko'paytiri.
T bo'yicha barcha tizimlar to'plamini bildiraylik = {1, ..., k } aloqalarning 1, ..., _k , ularning har biri berilgan xossalarga ega (1). Agar T Ø bo'lsa, u holda T elementi E, F va G to'plamlarida T jinsining tuzilishini (aniqrog'i, T jinsining matematik tuzilishini) aniqlashga aytiladi.
T to'plamini aniqlaydigan aniq formulalangan xususiyatlar (1) T jinsining strukturalarining aksiomlari deb ataladi va E, F va G to'plamlari T jinsining strukturalarining asosi deb ataladi. Bir xildagi barcha tuzilmalarga maxsus nom berilgan: guruhning tuzilishi, n o'lchamli Evklid bo'shlig'ining tuzilishi va boshqalar.
1-misol (guruh tuzilishi). Geometriyada odatda bunday struktura quyidagicha aniqlanadi.
Baza bir nonempty to'plami E iborat, munosabatlar tizimi bir aloqa iborat , qaysi to'rt aksiom qondirish kerak:
A₁: – E setkadagi algebraik operatsiya;
A₂: E ning har qanday elementlari uchun a, b, c bizda ((a,b),c ) = (a,( b,c )) {assotsiativlik);
A₃: E da e element bor, shundayki, har qanday a E uchun bizda (a,e) = ( e, a) = a (neytral elementning mavjudligi);
A₄: E ning har qanday elementi uchun E ning a' elementi mavjud bo'lib, shundayki, (a, a') = (a' , a) = e (element a' ning element a ga simmetrik mavjudligi).
Belgilangan jinsning tuzilishi aniqlanadigan maxsus nom beriladi. Masalan, yuqoridagi misolda "E – guruh" derdik, lekin to'liq holda "E to'plamida guruh tuzilishining jinsi tuzilishi belgilanadi" deyishimiz kerak.
2-misol (Evklid bo'shlig'ining Hilbert tuzilishi).
Xilbertning taʼkidlashicha, Evklid boʻshligʻi tuzilishining asosi 3 toʻplamdan iborat boʻlib, E, F va G.Birinchi to'plam E ning elementlari nuqtalar, F to'plam elementlari chiziqlar, G to'plam elementlari esa tekisliklar deyiladi .
E, F, G to'plamlari tizimida aloqalar mavjud , va , ular mos ravishda "lies on", "lies between" va "teng" so'zlari bilan belgilanadi. Hilbertning aksiomlar ro'yxati yigirma aksiomadan iborat: I 1 – I₈, II 1 – II₄, III 1 – III₅, IV _1§ 5, 6 da formulalangan , IV₂, V.
Bu axiomlar sistemasi _H. tomonidan qisqacha taʼkidlanadi.
Misol Z (Lobachevskiy kosmosning tuzilishi).
Strukturaning asosi 2-misoldagi kabi bir xil uch to'plam E , F, G dan iborat bo'lib, ularning elementlari mos ravishda nuqtalar, chiziqlar va samolyotlar deb ataladi.
Set tizimida E, F, G bir xil aloqalar mavjud , 2-misolda bo'lgani kabi, ular mos ravishda "lies on", "lies between" va "equal" so'zlari bilan ko'rsatilgan. Aksiomlar ro'yxati yigirmata aksiomadan iborat: I 1- I₈, II 1- II₄, III 1 - III₅ , IV ₁ , IV₂, V*- Bu ro'yxat Hilbertning axiom V ning o'rniga axiom V* o'rin olgan holda axiomlar ro'yxatidan farq qiladi . Axiomlarning bu sistemasi A tomonidan qisqacha
Agar baza bir nechta to'plamdan iborat bo'lsa, masalan uchta: E, F, G, ba'zan bu to'plamlardan biri, masalan, E aniqlanayotgan strukturalarda katta rol o'ynaydi. Bu strukturalar keyin E to'plamida aniqlanadi, F va G to'plamlari yordamchi deb qaraladi.
4. T jinsining strukturalari haqidagi ta'limot G (T) taklif (teoremalar) to'plami bo'lib, ularning har biri T ni belgilovchi sistemaning aksiomalarining mantiqiy oqibatidir. Binobarin, biz guruhlar nazariyasiga, halqalar nazariyasiga , affin bo'shliqlarining nazariyasiga (geometriyasiga), Evklid bo'shliqlarining geometriyasiga va boshqalarga egamiz.
Matematika matematika konstruksiyalarini o'rganish bilan shug'ullanadi. Uning asosiy usuli aksiomatik usuldir: har bir jinsning tuzilishi tegishli axiomlar ro'yxati orqali aniqlanadi va keyinchalik bu jinsning tuzilmalari nazariyasi sof mantiqiy tarzda tuziladi.
Shunday qilib, zamonamizda matematika nihoyatda keng bilim shoxobchasi bo'lsa-da, ko'p shoxli va birinchi qarashda o'rganishning turli sohalariga ega bo'lsa-da, matematika yagona fan, deb aytishimiz mumkin . Uning mavhum materiyasi matematik tuzilishlar to'plamidir; Uning asosiy usuli – aksiomatik usul.