Геометрия до Евклида

12 Aksiom sistemasining talqinlari. Tuzilmalar izomorfizmi.

1. 
   Masalan, E ={0,1, 2, 3, 4, 5} to'plamida R maydon ustidagi n o'lchovli vektor bo'shlig'ining tuzilishini aniqlash mumkin emas, lekin setda bir xil struktura oson aniqlanadi
   

Rⁿ = R R R ... R (n marta).
Shunday qilib, matematik tuzilishni aniqlashda T = Ø holati ikki sababga ko'ra yuzaga kelishi mumkin:
a) baza talab qilinadigan turdagi tuzilishga yo'l qo'ymaydi, lekin bunday tuzilma bazani boshqacha tanlash bilan mavjud;
b) kerakli tuzilishga yo'l qo'yadigan asos yo'q (baza qanday tanlangan bo'lsa, shuni ko'rib chiqadiki, T = Ø).
Keyingi holatda axiomlar sistemasi A ₁, A₂, ..., _{va t}, o, deb aytiladi, bu esa set T ni aniqlaydi, bir-biriga zid bo'ladi. Agar, boshqa tomondan, so'ralgan tuzilmani aniqlash mumkin bo'lgan asos mavjud bo'lsa (va shuning uchun T Ø), u holda aksiom tizimi barqaror deb aytiladi.
T jinsi tuzilmalarining G (T) umumiy nazariyasini o'rganishda biz odatda bazani tuzatmaymiz, bu jinsning tuzilmalarining eng umumiy xususiyatlarini topishni istaymiz. Ammo biz so'ralgan jinsning tuzilishini e'tirof etadigan asos borligiga amin bo'lishimiz kerak, ya'ni axiomlarning tegishli tizimi barqaror ekanligiga ishonch hosil qilishimiz kerak.
Faraz qilaylik, biz _1,2 munosabatlarga konkret ma'no berishimiz mumkin bo'lgan beton M to'plamini topamiz ,... _k shunda barcha axiomlar A _1, A₂,... A_t bajariladigan bo'lib chiqadi (bu T jinsining tuzilishi M to'plamida belgilanadi degan ma'noni anglatadi). So'ngra A ₁, A ₂, ... , A _t sistemasining talqinini tuzdik, deb aytiladi va set M ning o'zi T jinsining tuzilishi modeli deyiladi.
Misol 1.M ahamiyatli elementlarga ega ikkinchi tartibli kvadrat matrisalar to'plami bo'lsin. Matrislarni qo'shishni kiritish va ularni odatdagi tarzda R sonlari bo'yicha ko'paytirish orqali M maydon ustidagi 4 o'lchovli vektorli bo'shliqning modeliga aylanishini ko'ramiz R.
Shunday qilib, A ₁, A ₂, ..., A _t tizimining barqarorligini isbotlash uchun uning kamida bitta talqinini qurish kifoya.
Axiomlar sistemasi A ₁, A ₂, ..., A_t jinslarining strukturalarini aniqlovchi, bu jinsning tuzilishini aniqlash mumkin bo'lgan asos bo'lsa ( ya'ni, axiomlarning ma'lum bir sistemasini interpretatsiya qilish imkoni bo'lsa) bo'lsa, mos deb ataganmiz. Aksiomlarning bunday sistemasi ba'zan tarkibiy-mos deb ataladi. ¹
2. Axiomlar sistemasiga ikki gapni mantiqan olishning imkoni bo'lmasa, ichki mos kelishiga aytiladi. Ulardan biri ikkinchisining negativligidir.
Berilgan aksiomlar tizimining ichki barqarorligi muammosini hal qilish uchun, masalan, aksiomlardan takliflarni mantiqiy olish texnikasini o'rganish kerak. Bu matematik mantiqning muammolaridan biridir. Bu erda faqat quyidagilarga eʼtibor qaratamiz. Agar axiomlar tizimi tarkibiy jihatdan barqaror, ya'ni uning talqini qurilgan bo'lsa, u holda bu axiomlar tizimining ichki mosligi muammosi talqin qurilishida qo'llanilgan tushunchalar tizimining ichki mosligi masalasiga qisqartiriladi.
Agar bu tushunchalar tizimi ichki jihatdan barqaror ekanligi ma'lum bo'lsa, unda biz ushbu aksiomlar tizimining tub barqarorligini isbotlab berganimizdan so'ng, biz uning ichki barqarorligini o'rnatamiz.
Shunday qilib, agar biz mantiqiy ajratmalar texnikasini matematik mantiq orqali tekshirmasak, balki faqat geometriya doirasida qolsak, u holda muammoni faqat berilgan aksiomlar tizimining tub mosligi bilan hal qilishimiz mumkin.
3. A ₁, A 2, ..., A_t bo'lsin sistemasi (tarkib-dono) mos bo'lsin va shuning uchun T jinsining tuzilishini _1,2,...,_k asosiy aloqalar bilan belgilasin.
Aytaylik, setda M/ biz aniq ma'no berdik /₁ , ^/ ₂,... ^/_k aloqalar _i shunda barcha axiomlar A ₁, ..., A_t qanoatlantiriladi. Aytish mumkinki, setda M/ tuzilishi ^/ T aniqlanadi. T tuzilishi 1, ₂ ,..., _k aloqalar _i ning konkret ma'nosi bilan M setda bir xilda aniqlansin, struktura / va (shuningdek, M ^/ va M modellari deyiladi izomorf bo'lsa, agar biyeksiya (izomorfizm deb ataladi) f:M/ M mavjud bo'lsa, shundayki , (x/, y/, ..., v/) /_iagar va faqat (f(x ^/), f( y^/), ..., f(v/)) /i, ya'ni, agar x/, y/, ..., v/ M/ elementlari /i , u holda tegishli elementlar f(X^/), f(y/), ..., f(v^/) M _i bilan bog'liq .
2-misol. T hobil guruhining tuzilishining jinsi bo'lsin. Keling, bunday ikki aniq tuzilmani ko'rib chiqamiz:
^/ qo'shimchalar guruhi sifatida R haqiqiy sonlar to'plamidir;
multiplikativ guruh sifatida R* + musbat sonlar to'plamidir.
Qonunga muvofiq bijeksiya f : R*+ R ni ko'rib chiqaylik: har qanday x R* ₊uchun. f(x) = ln x.
ln(x) = ln x + ln y dan boshlab, u holda f(xy) = f(x) + f(y), shuning uchun strukturalar ^/ va izomorf (yoki aytganlaridek, R va R * guruhlariga izomorf ₊).
Set M ning izomorfizmi (uning ustida struktura o'z ustida aniqlanadi bu to'plamning avtomorfizmi deyiladi .