Геометрия до Евклида

Teorem 1. Ikki xil chiziqlar umumiy yo'l-yo'riq quyi bo'shlig'ini baham ko'rsa va faqat bo'lsa, paralleldir.
Dalil:
(A,L) va (B,L) umumiy yo'naltiruvchi substruktura L ga ega bo'lgan ikki to'g'ri chiziq bo'lsin . Taʼrifga koʻra, bu satrlar L. bilan kiritilgan ikkilik bogʻlanishning turli ekvivalentlik sinflaridir . Bu chiziqlar umumiy nuqtalari yo'q, deb ergashadi. Ular aniq A nuqta orqali o'tayotgan va vektorlar parallel va , qaerda subspace L ning nonzero vektori bo'lgan samolyotda yotadi . Shuning uchun ma'lumotlar paralleldir.
Qarama-qarshi gap to'g'ridan-to'g'ri isbotlangan lemmadan kelib chiqqan.
Isbot tamom.
Teorem 2. Bu d satrda yotmagan bu nuqta orqali d qatorga parallel bitta va yagona chiziq bor.
Dalil:
L chiziqning yo'l-yo'riq quyi bo'shlig'i bo'lsin d. 1-teoremga ko'ra A nuqtadan o'tuvchi chiziq (A, L) d qatorga parallel bo'lib o'tadi . Isbotlaylikki, (A, L) bu holatni qanoatlantiruvchi yagona chiziqdir. Aslida (A, L^/) A nuqtadan o'tuvchi va d qatorga parallel bo'lgan har qanday chiziq bo'lsin. 1 teoremasining ma'lumotlariga ko'ra, L/ va L tub bo'shlig'i bir xil, shuning uchun chiziqlar (A, L) va (A, L^/) bir xil.
Isbot tamom.
Oqibati. H(_w) nazariyasida parallelizm aksiomi (Hilbertning aksiom V) mavjud.
Ikkita samolyot nuqtalarni bo'lishmasa parallel deb aytiladi. 1 va 2 teoremalariga o'xshash ikkita parallel samolyot teoremasini isbotlash mumkin . Biz ularning formulasini va isbotini o'quvchiga qoldiramiz.

16 A. V. Pogorelov «Geometriya» maktabining axiomatikasi.

1.Umumiy o'rta ta'lim maktabi uchun zamonaviy geometriya darsliklarida kurs H tizimi va W tizimidan boshqa axiom sistemalar asosida tuzilgan .
Keling, avvalo, O'rta maktabning VI-X sinflari uchun geometriya fanidan dars ishlanmasida taklif etilgan aksiomlar tizimini A. V. Pogorelov ¹. Soddalik uchun planimetriyaning aksiomlari tizimini ko'rib chiqish bilan cheklaylik. Bu yerda Evklid samolyotI E2 tuzilishining asosi E, F va R uchta to'plamdan iborat.E dan olingan elementlar nuqtalar, F dan elementlar esa chiziqlar deyiladi;R – haqiqiy sonlar to'plami. E va F to'plamlar asosiy to'plamlar, to'plam R esa yordamchi to'plamdir.
Birlamchi munosabatlar quyidagicha:
a) nuqta va satrga mansubligi; b) bir xil chiziqning uch nuqtasi orasida yotish; c) segmentning uzunligi; d) burchakning gradus o'lchovi.

1. 
   Ko'rib chiqilayotgan aksiomlar tizimi, biz _p bilan bildiramiz, olti guruhga bo'lingan to'qqizta aksiomdan iborat.
   

I. Tegishlilik axiolari.
I₁. Ikki nuqta qanday bo'lishidan qat'iy nazar, o'tayotgan to'g'ri chiziq bor
shu nuqtalar orqali va faqat bitta.
I₂. Har bir chiziqda kamida ikkita nuqta bor. 3 ta nuqta borki, ular bir satrda yotmaydi.
II.Farmonning axiolari.
II₁. Chiziqdagi uchta nuqtadan bittasi, faqat bittasi qolgan ikkitasi orasida yotadi.
Bu aksiom asosida segment tushunchasi kiritiladi.AB segmenti A va B nuqtalari orasida yotgan to'g'ri chiziqdagi nuqtalar to'plamidir .
II₂. Bir chiziq o'zi mansub bo'lmagan samolyotdagi nuqtalar to'plamini ikki quyi to'plamga (yarim samolyotlarga) bo'ladi, shunda bir xil yarim samolyot nuqtalarini bog'lovchi chiziq chiziqni kesib o'rmaydi, turli yarim samolyotlarning nuqtalarini bog'lovchi chiziq chiziqni kesib o'tadi.
So'ngra nurlanish va uchburchak tushunchalari kiritiladi. A kelib chiqishi A bo'lgan nur AB – B nuqta va to'g'ri chiziq AB ning har qanday nuqtasi M dan iborat nuqtalar to'plamidir . Bunday holda A nuqta B va M nuqtalar orasida yotmaydi.
Uchburchak — bitta chiziqda yotmagan uchta nuqtadan iborat figura, ularni juft-juft bog'lovchi uchta segment. Axiom II₂ yordamida H(_p) nazariyasida Hilbertning aksiomatikasida aksiom (Paschning aksiomi) sifatida qabul qilinadigan teorema mavjudligini ko'rish mumkin.
III. Segmentlar va burchaklar uchun o'lchov axiomlari ¹.
Keling, L bilan barcha segmentlar to'plamini, R ₊ ^* esa barcha musbat sonlar to'plami bilan belgilaylik.
III₁. Agar ma'lum bir segment EF tanlangan bo'lsa, u holda xarita l: L R₊ ^* shunday bo'ladiki, ikki shart qanoatlantiriladi: a) agar C nuqta A va B nuqtalar orasida yotsa, u holda l(AC) +l(CB) = l(AB); b) l(EF)=1.
Agar l/ : E /F/ segmenti tanlanganda L R₊^* xaritaga tushirilgan bo'lsa, u holda l(AB=l(CD) tenglamasi quyidagicha bo'ladi: l /( AB)=l ^/(CD).
l(AB ) soni AB segmentining uzunligi, EF qatori esa birlik segmenti deyiladi.
Keyingi aksiomni shakllantirish uchun burchak tushunchasini kiritaylik. Burchak — umumiy kelib chiqishi ikki xil nurdan iborat bo'lgan figura. Nurlar bir xil chiziqda yotsa, burchak teskari bo'ladi. Shuni aytamizki, berilgan nur o'z verteksidan chiqib, burchak tomonlaridagi sonlar bilan qandaydir segmentni kesib o'tsa, o'zgarmagan burchak tomonlari orasidan o'tadi. Yuz bergan burchak holatida har qanday nurlanishni faraz qilamiz verteksidan chiqib, yon tomonlaridan ajralib chiqib, burchak tomonlari orasidan o'tadi. Keling, uni barcha burchaklar to'plami orqali bildiraylik.
III₂. Xaritalash mavjud: R ₊^* shundayki, ikkita shart bajariladi:
a) agar yam l burchak hk tomonlari orasidan o'tsa, u holda (hl) + (lk) = ( hk);
b) agar hk yuz bergan burchak bo'lsa, u holda (hk ) = 180.
Son (hk) burchak hk ning gradus o'lchovi deyiladi.
Berilganga teng uchburchakning mavjudligi axioligi.
Ikkita chiziq teng deb , agar, qachon birlik chizig'ini tanlasangiz, ularning uzunliklari teng bo'lsa, deb aytiladi.Ikki burchak bir xil gradus o'lchoviga ega bo'lsa teng deb aytiladi.Uchburchaklar ABC va 1 C 1 dagi A _tenglamalar bajarilsa teng deb aytiladi:
A = A 1, B = B 1, C = C 1, AB = A ₁ B 1, BC = B 1 C 1 AC = A ₁₁C.
IV. ABC uchburchak bo'lsin va h nur bo'lsin . So'ngra uchburchakka teng bo'lgan uchburchak A 1 B 1 C 1 bo'lib, bunda A 1 verteksi nur h ning kelib chiqishiga, verteks B ₁ ray h yotadi va verteks C ₁ nur h tarkibidagi to'g'ri chiziqqa nisbatan berilgan yarim samolyotda yotadi.
Ushbu axiom yordamida quyidagi gaplarni isbotlash oson:
1°. Uning kelib chiqishi ma'lum bir nurda ushbu segmentga teng segmentni va faqat bittasini joylashtirish mumkin.
2°. Berilgan burchakka teng burchak, va faqat bitta, berilgan nurdan shu nur tarkibidagi chegarali berilgan yarim tekislikka qo'yilishi mumkin.
Berilgan uzunlikning bir segmenti mavjudligining aksiomi.
V. Agar birlik segmenti tanlansa, u holda haqiqiy son d > 0 bo'lishidan qat'iy nazar , uzunligi d bo'lgan segment mavjud.
Axiom V va 1° va 2- gaplar yordamida quyidagi ikki gapni isbotlashimiz mumkin. Bu gaplar metodologik sabablarga ko'ra o'rta maktab darslikda aksiom sifatida olinadi (axiomlar IV ₁ va IV₂).
3° . Ma'lum bir nurda, berilgan uzunlikning bir qismini kelib chiqishi va faqat bittasidan kechiktirish mumkin.
4°. Berilgan nurdan ushbu nurni o'z ichiga olgan chegaralangan yarim tekislikka qadar 180° dan past bo'lgan burchakni va faqat bitta burchakni qo'yish mumkin .
Parallel chiziqlarning aksiomlari.
Ma'lum bo'larki, samolyotdagi ikkita chiziq kesishmasa parallel bo'ladi .
VI. Berilgan chiziqda yotmagan nuqta orqali berilgan chiziqqa parallel bo'lgan bittadan ortiq chiziqni samolyotda chizib bo'lmaydi.

1. 
   Teoremga o'xshash teoremni isbotlaylik 5 § 83.
   

Teorem. Haqiqiy sonlarning arifmetikasi mos bo'lsa , axioms _p sistemasi mos keladi.
Dalil:
Teoremani isbotlash uchun _{sistema p} ning barcha to'qqizta aksiomasini teorema sifatida G (_W) teoriyasida isbotlash mumkinligiga ishonch hosil qilish kifoya (teoremaning isbotiga qarang 5, § 83).