Геометрия до Евклида

13 Axiom sistemasining mustahkamligi, mustaqilligi va to'liqligi.

1. Yuqorida ta'kidlab o'tilganidek, axiomlar sistemasiga aytiladiki, agar T jinsining tuzilishini aniqlash mumkin bo'lgan asos mavjud bo'lsa, barqaror bo'ladi. Aksiomlar tizimining barqarorligini isbotlash uchun uni talqin qilish uchun etarlidir ^ axiomlar tizimi. Talqinni qurishda biz ularning tizimi ichki jihatdan barqaror ekanligiga ishonchimiz komil bo'lgan "etarlicha ishonchli" tushunchalardan foydalanishimiz kerak. Faqat bu holatda ta'kidlash mumkinki, axiomlar tizimimiz ₁, A 2 _{bo'lganligini},... A_t ichki jihatdan barqaror bo'lib, shuning uchun G(T) ta'limotida bu nazariyani qanchalik uzoqqa rivojlantirsak ham, bir-birimizni negativlashtiruvchi ikkita teoremani olmaymiz.
Agar axiomlar sistemasi A ₁, A, ₂,..., A _t bir-biriga zid bo'lsa (T = Ø), u holda hech qanday strukturani aniqlamaydi: E, F, G (bazalar) to'plamlari yo'qki, ular ustidagi har qanday aloqalar A, ₁, A, ₂ ning xossalariga ega bo'ladi,... A_t. Natijada, aksiomlarning bunday tizimi foydasizdir.
Shunday qilib, A ₁, A ₂, ..., A_t ning sistemasi, buning uchun biz D (T) teoremasini tuzmoqchimiz, mos bo'lishi kerak. Bu har qanday axiomlar tizimi uchun eng muhim shartdir.
Yuqorida ta'kidlanganidek, aksiomlar sistemasining ichki mosligi haqidagi savolni faqat matematik mantiq yo'li bilan yechish mumkin.
Geometriyada o'rganilgan strukturalarni aniqlovchi aksiom sistemalarning talqinlarini tuzishda, haqiqiy sonlar arifmetikasidan olingan tushunchalarni "eng ishonchli" deb e'tiborga olib, turli numizmatik to'plamlardan foydalanamiz. Demak, A 1, A 2, ..., A t, matematik mantiq vositalariga qo'l urmasdan, axiomlar sistemasining barqarorligini tekshirishda, eng yaxshisi quyidagi shakldagi gapga kelishimiz mumkin: axiomlar sistemasi A ₁, A ₂, ..., A_t haqiqiy sonlar arifmetikasi mos bo'lsa, mos keladi.
Misol 1.Hilbertning aksiomlarining I guruhi mos ekanligini isbotlaylik . Buning uchun tizimning {I ₁, I ₂, ..., I ₈} talqinini tuzaylik. A, b, c, d (masalan , a, b, c va d to'rt elementdan iborat bo'lgan to'plamni olish har xil sonlardir). Keling, ushbu setkaning har bir elementini nuqta deb ataylik; chiziq— ikkita elementdan iborat bo'lgan sub-to'g'ri to'plamlarning har biri, ya'ni, {a, b}, {a, c}, {a, d}, {b, c}, {b, d}, {c, d} — satrlar; Samolyot uchta elementdan iborat bo'lgan subsetlarning har biri, ya'ni {a, b, c}, {a, c, d}, {a, b, d}, va {b, c, d} samolyotlardir. Aytaylik, agar setning tegishli elementi tegishli subsetga tegishli bo'lsa, bir nuqta chiziqda (yoki samolyotda) yotadi. Masalan, {a, c} satrida a nuqta yotadi , lekin {b, c, d} samolyotida yotmaydi. Hilbertning I guruhining barcha axiomlari ushbu anjumanlarda ro'yobga chiqishini o'quvchini o'zi ko'rishga taklif etamiz.
2. Bizga ma'lumki, axiom tizimi = { A ₁, A ₂, ..., A_t }- aloqalar qondirishi lozim bo'lgan aniq talablar ro'yxati
bazaning E, F, G to'plamlarida 1, ₂, ..., _k.
Aksiomlar sistemasi bir-biridan mos bo'lsin va shuning uchun T jinsli strukturalarning D (T) ta'limotini qurish mumkin. Savol tug'iladi: bunday strukturaning tasnifi uchun tizimning barcha aksiomalari zarurmi, ya'ni T ni o'zgartirmasdan bu axamiy sonini kamaytirish mumkin emasmi?