Геометрия до Евклида

AKSIOMATIKANING UMUMIY SAVOLLARI. EVKLID GEOMETRIYASINI OQLASH.

Oldingi bobda ta'kidlanganidek, hozirgi zamon matematikasining asosiy metodi aksiomatik usul bo'lib, u D.Xilbertning Geometriya asoslaridan kelib chiqqan. Bu metod matematik struktura tushunchasi bilan yaqindan bog'liq bo'lib, o'quvchi bu tushunchaga keyingi paragrafda kiritiladi.

11 Matematik tuzilish tushunchasi.

1.Munosabat tushunchasini eslang. Yo'qmas to'plamlar M ₁, M ₂, ..., M_n berilsin.Δ M ₁ M 2 ning har bir quyi to'g'risida ...M n M ₁, M ₂, ... , M n to'plamlarida aniqlangan n-ar (yoki n-o'rin) munosabat deyiladi. Elementlari m 1, m 2, ..., m n (m i M_i) Δ ga nisbatan aytiladi agar (m ₁, m ₂, ... , m_n )Δ.
Agar M 1 = M 2 = ...= M _n = M va shuning uchun M ₁ M ₂ ... M n = M n (M to'plamning n-karteya kuchi), n-ar munosabati Δ M ⁿ to'plam M da aniqlanadi , deb aytiladi.
Ikkilik bog'lanish (n = 2) Δ M 1 M 2 o'rniga (m ₁, m ₂ )Δ. yozishda:
m₁ Δ m₂.
E'tibor bering, har bir xaritalash bir munosabat bilan hosil bo'ladi. Aslida X va Y ni nonempty to'plamlari bo'lsin va xaritalash f : X Y ni bering, bu ba'zi bir qonunga ko'ra x X har bir elementga to'g'ri keladi a ma'lum bir element f (x) Y. Bunda f (X) Y ning quyi to'plami aniqlanadi, barcha elementlarning f (x) barcha elementlaridan iborat x of X ( f (X) – berilgan xaritada X to'plamning rasmi. Δ bo'yicha X x f ( X ) ni bildiraylik . Ochig'i, Δ x x Y, ya'ni, Δ X va Y to'plamlarda aniqlangan ikkilik bog'liqlikdir . Bunda x X va y y elementlari agar y = f (x) bo'lsa, Δ nisbatan bo'ladi . Haritalash f nisbati Δ hosil bo'ladi deb aytiladi .
Aytaylik, E to'plamida algebraik operatsiya (kompozitsiyaning ichki qonuni) aniqlanadi:
: E E E

Bu erda Δ E 3 ning quyi to'plami aniqlanadi, ular E ³ ning (a, b, c) elementlari bilan hosil bo'ladi, buning uchun (a, b ) = c. Ko'rib turibmizki, ternariy (n = 3) munosabat Δ kompozitsiyaning ichki qonuniga sabab bo'ladi.

E to'plamda Λ operatorlari to'plami bilan kompozitsiyaning tashqi qonunini ko'rib chiqaylik:
g: Λ E E
(Bunda ko'plikli nota f (, a ) = a, qayerda Λ, va E ni qo'llaymiz). Bu holda, Δ Λ E E ning pastki to'plami aniqlanadi, ular Λ E dan (, a, b) elementlar tomonidan hosil bo'ladi , buning uchun a = b. Shubhasiz, erdan qorin bo'shligi Δ tarkibining tashqi qonuniga olib keladi.
Shunday qilib, to'plamlarda aniqlangan aloqalar yordamida bir to'plamning boshqasiga xaritasini ham, to'plamlar bo'yicha tarkib topish qonunlarini ham aniqlash mumkin.
2. Agar, Kartes mahsulotida biz ikki xil subsetni ajratib ko'rsatadigan bo'lsak va , biz set tizimi M ₁, M ₂, ..., M_n bo'yicha aniqlangan ikki xil aloqani olamiz. Bog'likning xossalari munosabatlarning xususiyatlaridan (beri) bir yo'l bilan farq qiladi.
Shunday qilib, M ₁, M 2, ..., to'plamlar tizimida M _n har xil aloqalar P (M ₁ x M₂ x ... x M _n) to'plamning barcha quyi to'plamlaridan M ₁ x M₂ x ... M_i to'plamlaridan kamida bittasi cheksiz bo'lsa, bu aloqalar cheksiz bo'ladi. Shuning uchun quyidagi vazifani qo'yish umidsiz bo'lar edi: M 1, M 2, ..., M_n to'plamlarining berilgan sistemasida mavjud bo'lgan barcha mumkin bo'lgan aloqalarning xossalarini o'rganish.
Matematika (uning rivojlanishi, biz bilganimizdek, amaliyot ehtiyojlari bilan belgilanadi) bunday vazifani qo'yavermaydi. Ma'lum ma'noda matematiklarni buning aksini aytish mumkin: ular biz allaqachon ko'rsatgan mulklar bilan aloqalar mavjud bo'lgan to'plamlarni qidirishadi va o'rganishadi.
3. Turli nompty to'plamlarining chekli tizimini oling. Soddalik uchun o'zimizni E, F, G uchlik to'plamlari bilan cheklab qo'yaylik .1.2 da aytaylik,... _k o'rnatgan tizimdagi ba'zi aloqalar E, F, G. Biz ushbu aloqalarni To'plamlarning Kartsiya mahsulotlarining aniq pastki to'plamlari sifatida tuzatimaymiz, faqat quyidagi xususiyatlarga ega bo'lishlarini talab qilamiz: