Геометрия до Евклида

15 Vaylning uch o'lchovli evklidlar makonining aksiom tizimi
1. V haqiqiy sonlar maydonidan yuqori uch o'lchovli vektorli bo'sh joy bo'lsin, E esa nompty to'plami bo'lsin, uning elementlarini nuqtalar deb ataymiz.Taxmin qilamizki, xarita o'rnatilgan
(:E X E V, va vektor (A, B) bilan denotlanadi . Bundan tashqari, xaritalarning ko'pligi berilgan deb hisoblaymiz, ularning har biri V V r shaklining xaritasidir.
E to'plami quyidagi aksiomlar qanoatlantirilsa , uch o'lchovli haqiqiy Evklid bo'shlig'i deyiladi.²
1) E ning har bir nuqtasi uchun va o'zboshimchalik bilan vektor hám V bo'lsa, bitta va faqat bitta nuqta X shunday = .
2) A, B va C har qanday nuqtalar uchun tenglama + = .
3) A to'plami salbiy aniq bilinear shakllari to'plamidir, shundayki, agar , u holda , λR^* _+. Boshqacha aytganda, V bo'shliqda musbat sonli omilgacha aniqlik bilan musbat aniq bilinear shakl beriladi.
Axioms 1 - 2 uch o'lchovli real affin bo'shlig'ining tuzilishini aniqlaydi Az (uzatish maydoni V bilan).
Shunday qilib, Evklid fazosi Az tuzilishining asosi E, V , R to'plamlarning uchligi bo'lib, unda E nuqtalar to'plami, V – maydonning R dan yuqori uch o'lchamli vektorli bo'shlig'i, R esa haqiqiy sonlar maydonidir.
Shu sababli E3 ning tuzilishini aniqlashda haqiqiy sonlarning maydon R ning tuzilishi va R maydon ustidagi uch o'lchovli vektor bo'shlig'ining tuzilishi bizga yaxshi ma'lum deb hisoblaymiz. So'ngra Ez ning tuzilishi faqat uchta Veyl aksiomi bilan aniqlanadi, 1-3. Bu tizim w bilan belgilanadi .
2. _w sistemaning barqaror ekanligini isbotlang. Buning uchun R haqiqiy sonlar to'plami yordamida ushbu sistemaning interpretatsiyasini quraylik.
Vektor – formaning har qanday ustuni , bu yerda o'zboshimchalik bilan haqiqiy sonlar bo'ladi. Vektorlarning yig'indisi va vektorning son bo'yicha ko'paytmasi ustunlarning yig'indisi va ustunning haqiqiy son bo'yicha ko'paytmasi sifatida aniqlanadi:
+ и a .
Bu konunlar 1-bo'limda, 1-qismda shakllantirilgan uch o'lchovli vektorli bo'shliqning I, 1 va 8 tasining barcha axiomlarini bajarishini ko'rish oson. 1, § 83. Bunda vektorning roli ustun tomonidan o'ynaladi , vektorlarning uchligi , , .
Ijobiy aniqlangan bilinar shakllar to'plami quyidagicha aniqlanadi. Keling, bilinear formani tanishtiraylik _, unda
va
va to'plamni ko'rib chiqing ={λg ₀}, unda λ har qanday haqiqiy musbat sondir. Ochig'i, bu Weylning axiom 3 ni ushlab turadi.
A nuqta – formaning har qanday strelkasi , bu yerda o'zboshimchalik bilan haqiqiy sonlar. : E EV ning xaritasi quyidagicha aniqlanadi:
.
Keling, qurilayotgan talqinda Vaylning 1-2-axiomlari bajarilganligiga ishonch hosil qilaylik.
Axiom 1.A = (a 1, a₂ va ₃) o'zboshimchalik bilan nuqta, = arbitraj vektor bo'lsin. Biz bir va faqat bir nuqta borligini isbotlashimiz kerak, bunday = , yoki bizning talqin bo'yicha , , . Bu tenglamalarni qanoatlantiruvchi bir va faqat bir uchlik son borligi aniq , shuning uchun qurilgan talqin axiom 1 da amalga oshadi.
Axiom 2.A = (a 1, a 2, a 3), B = (b 1,b 2,b 3) va C = (c ₁, c 2,c ₃) bo'lsin. So'ngra bizda:
=, =, =.

Oddiy hisob-kitob bo'yicha biz + = ekanligiga ishonch hosil qilamiz.Shunday qilib, biz quyidagi teoremasi isbotladik.