Геометрия до Евклида

Teorem 1.Vaylning axiomlar sistemasi 1–3 haqiqiy sonlarning arifmetikasi mos bo'lsa, mos keladi.
1-qism, §83 va 85-qismda vektor koordinatalarining V bo'shliqdagi va fazodagi nuqtalarning koordinatalarini Ez. Bunda biz aslida axioms 1-3 tizimining har qanday talqini yuqorida qurilgan talqinga izomorf ekanligini isbotladik. _W tizimining har qanday ikki talqini izomorf bo'lib, shuning uchun Vaylning aksiom tizimi to'liqlik xususiyatiga ega (u turkumdir).
3. Shuni ko'rsataylikki, axiomlar tizimidan foydalanib, bizga ma'lum bo'lgan bo'shliq Ez haqidagi barcha tushunchalarni taqdim etish mumkin. Avvalo , No'da shakllantirilgan xossalarga e'tibor beraylik. 1, soat. 1, §85; xususan Ez bo'shlig'ida cheksiz sonli nuqtalar mavjud.
Ezdagi chiziqlar va samolyotlar tasniflarini eslang (1-qismga qarang). 1, § 86). L_k uch o'lchovli vektorli bo'shliqning bir o'lchamli yoki ikki o'lchamli sub-bo'shlig'i bo'lsin (ya'ni uch o'lchovli vektorli bo'sh joy). k = 1 yoki 2). L_k yordamida kosmosdagi barcha nuqtalar to'plamiga ikkilik bog'lanishni taqdim etamiz Ez. Shuni aytamiz A va B nuqtalari L k bo'lsa bilan bog'liq . Shubhasiz, ekvivalentlik aloqasi (qarang Sect. 1, § 86, para. 1).Faktor-set Ez / at k = 1 elementlarining har biriga satr, k = 2 da esa tekislik deyiladi . Subspace L _k bir chiziqning (tekislikning) yo'l-yo'riq quyi bo'shlig'i deb ataladi va bu subspacening vektorlari chiziqqa (tekislikka) parallel vektorlar deyiladi. Binobarin, bir chiziq o'zining A nuqtalaridan biri va yo'l-yo'riq quyi bo'shlig'i L 1) (yoki bitta nonzero vektori L ₁ ) bilan o'ziga xos aniqlanadi. SHuningdek, samolyot o'z nuqtalaridan birini va yo'ldoshli subspace L 2 (yoki ikkita chiziqli mustaqil vektor , L ₂) ni ko'rsatish orqali o'ziga xos aniqlanadi. A nuqtadan o'tuvchi chiziq (yoki samolyot) va yo'ldosh quyi bo'shlig'i L ga ega bo'lish quyidagicha ifodalanadi: (A, L).
Nazarimizda, Hilbertning I guruhining barcha aksiomalarini teorema sifatida G( _w) ta'limotida isbotlash mumkin.
Axiomlar I₃ va I₈ ning bajarilishi ayanchli. Aslida, O bo'shliq Ez ning koordinat sistemasi bo'lsin. Vaylning birinchi aksiomiga ko'ra A, B va C nuqtalari shunday = , = va = bo'ladi . O, A va B nuqtalar bir satrda yotmasligi aniq, O, A, B va C nuqtalari bitta tekislikda yotmaydi.
1°. Har qanday ikki nuqta A va B orqali bitta va faqat bitta to'g'ri chiziq mavjud (Axioms I ₁ va I₂).
Dalil:
Aslida A nuqtadan o'tuvchi va vektorga parallel bo'lgan d chiziq ham B nuqtadan o'tadi.
Agar yo'l-yo'riq quyi bo'shlig'i L/1 bo'lgan boshqa bir chiziq d/ A va B nuqtalardan o'tadi deb faraz qilsak, u holda AB L ^/ ₁.Bundan keyin d va d/ satrlarning quyi bo'shlig'ining yo'ldoshlari bir-biriga to'g'ri keladi va shuning uchun d va d^/ o'zlari chiziqlar bir-biriga to'g'ri keladi.
Isbot tamom.
O'quvchiga quyidagi gapni ham shu tarzda isbotlashga taklif qilamiz.
2°. Bitta chiziqda yotmagan har qanday uchta nuqta A, B va C bitta va faqat bitta samolyot (axioms 1, ₄ va 1, ₅) orqali kesib o'tilgan.
3°. Agar chiziqning ikki nuqtasi A va B nuqta d samolyotda yotsa , u holda chiziqning har qanday nuqtasi d samolyotda yotadi (axiom 1₆).
Dalil:
(A, L ₁) to'g'ri chiziq d bo'lsin, (A, L₂) esa samolyot bo'lsin . Bd dan beri , keyin L ₁ bo'lib, shuning uchun L1 vektor ustiga cho'zilgan subspace hisoblanadi . B shartiga ko'ra, shuning uchun L₂. Shunday qilib, L ₁ L₂. Agar M to'g'ri chiziq d ning arbitraj nuqtasi bo'lsa, u holda L ₁, shuning uchun L₂, ya'ni M.
4°. Agar ikkita samolyot va / umumiy nuqta A bo'lsa, u holda ular samolyotlarning barcha umumiy nuqtalari va / tegishli bo'lgan umumiy chiziqqa ega .
Dalil:
(A, L) samolyot bo'lsin, (A/ , L^/) esa samolyot bo'lsin ^/.L va L/ bo'shliqlari bir-biriga to'g'ri kelmaydi va V vektor bo'shlig'iga tegishli bo'ladi, shuning uchun LL/ =W, bu yerda W bir o'lchovli vektor quyi bo'shlig'i hisoblanadi. WL va WL^/ dan boshlab , qatorning barcha nuqtalari d = (A , W) samolyotlarda yotibdi va ^/, ya'ni d – samolyotlarning umumiy to'g'ri chizig'i va ^/. Keling endi arbitraj umumiy nuqta M, samolyotlar va / ko'rib chiqaylik. Ochig'i , L va L ^/, shuning uchun,
W. Undan keyin M d.
Isbot tamom.
Xilbertning axiom I₇ ning G(_w) ta'limotida sodir bo'lishi 4° mulkidan kelib chiqadi.
4.Quyidagi teoremani isbotlash uchun zarur bo'lgan lemmani isbotlaylik.
Lemma. Agar ikkita chiziq bir xil samolyotda yotsa va ularning pastki bo'shliq yo'riqnomalari bir-biriga to'g'ri kelmasa, unda bu chiziqlar kesishadi.
Dalil:
Samolyotda yotgan ma'lumotlar liniyalari bo'lsin va bo'lsin . Lemma holatiga ko'ra, vektorlar kollinear emas va shuning uchun samolyotning yo'l-yo'riq quyi bo'shlig'ining asosini tashkil qiladi . Keyin samolyotga parallel vektorni vektorlarga ajratish mumkin va :
. (1)
Axiom 1 ga ko'ra M va M^/, shunday nuqtalar borki, = a , = - . Ochig'i, M (A, ), M ^/ (B, ). Bu qiymatlarni tenglikka almashtirish orqali (1) olamiz = - ' , yoki + = . Axiom 2 ga ko'ra bizda = . Shunday qilib, axiom 1 ni hisobga olgan holda, M va M^/ nuqtalar bir-biriga mos keladi, shuning uchun (A, ) va (B, ) chiziqlari umumiy nuqtaga ega.
Isbot tamom.
Ikki chiziq bir tekislikda yotsa va umumiy nuqtalari bo'lmasa parallel deb aytiladi.Ikki chiziq parallelligining quyidagi xususiyatini isbotlaylik.