Геометрия до Евклида

A sistema axiomlaridan biri bo'lsin. Axiom A deb sistemaning qolgan aksiomlarining mantiqiy oqibati A taklifi bo'lsa sistemaning qolgan axiomlariga bog'liq deb aytiladi. Bunda axiom A sistemaning aksiomlari qoniqarli bo'lgan zahoti bajariladi ^/ = \{ A} . Ko'rinib turibdiki, bunda tizim/ning har qanday talqini ham tizimning talqinidir (ya'ni, tizim talqini). ^/ xuddi shu to'plamni aniqlaydi T).
Tizimda axiom A ni uning negativ Ā (A emas) bilan almashtirib , *, ya'ni, * = ^/ {Ā}.Tizimning har qanday talqini * ham tizimning talqini bo'lib xizmat qiladi '. Agar axiom A sistemaning qolgan axamlariga bog'liq bo'lsa, u holda tizim *ning talqinida bajarilishi kerak, bunda axiom Ā ham ushlab turadi. Lekin har qanday munosabat _i bir vaqtning o'zida A va Ā xossalariga ega bo'la olmaydi . Shuning uchun, agar axiom A sistemaning qolgan axiomlariga bog'liq bo'lsa , u holda axiomlar * sistemasi zid (uning talqinlari yo'q).
Shunday qilib, sistemaning qolgan axsiomlaridan axiom A ning mustakamligini isbotlash uchun sistema * ning tarkibiy jihatdan mosligini isbotlash kifoya .
Abeliy guruhining tuzilishini aniqlovchi aksiomlar sistemasi A 1 dan A ₄ gacha (§ 11, misol 1) va quyidagi aksiomdan iborat:
A₅: E ning har qanday ikki elementi a, b uchun bizda (a, b) = ( b , a) mavjud.
Axiom A ₅ ning A ₁ dan A ₄ gacha bo'lgan axiomlardan mustaqil ekanligini isbotlaylik.
Buning uchun axiom tizimining mosligini isbotlash kifoya * = {A ₁, A ₂, A ₃, A ₄, Ā 5}, bu erda Ā 5 axiom A ₅ ning negativligidir.
Ā₅: E ning kamida bir juft elementi borki , (a, b) ( b,a).
Tizimning mosligi * o'zgarmas guruhlar mavjudligidan kelib chiqqan holda (masalan, R maydon ustidagi tartib p 2 ning degenerativ bo'lmagan kvadrat matrislarining ko'pburchak guruhi).
3-misol. Hilbert axiomlarining I guruhini ko'rib chiqaylik (1-misolga qarang ) va axiom I ₁ ning axiomlarga bog'liq emasligini isbotlaylik I ₂–I ₈. Buning uchun aksiom tizimining barqarorligini isbotlashning o'zi kifoya
* = {Ī 1, I ₂ I ₃, ..., I ₈}, bu erda Ī axiom I ning negativligi I ₁: kamida ikkita nuqta borki, ular orqali hech qanday chiziq o'tmaydi.
Keling, tizim * mos kelishini isbotlaylik . Buning uchun 1-misolda ko'rib chiqilgan talqinga biroz o'zgartirish kiritaylik. Nuqtalar va samolyotlar 1-misoldagi kabi talqin qilinadi. Quyidagi beshta quyi to'plami satrlar deyiladi: {a, c}, {a, d}, {b, c}, {b, d], va { c, d}. Ayon bo'lishicha, bu bilan sistemaning barcha axiomlarini ushlab turadi*: axiom Ī₁ tutashadi, chunki a va b nuqtalardan hech qanday to'g'ri chiziq o'tmaydi; Axiomlarning I ₂ dan I₈ gacha bajarilishi aniq.
Keling, tizim * mos kelishini isbotlaylik . Buning uchun 1-misolda ko'rib chiqilgan talqinga biroz o'zgartirish kiritaylik. Nuqtalar va samolyotlar 1-misoldagi kabi talqin qilinadi. Quyidagi beshta quyi to'plami satrlar deyiladi: {a, c}, {a, d}, {b, c}, {b, d], va { c, d}. Ayon bo'lishicha, bu bilan sistemaning barcha axiomlarini ushlab turadi*: axiom Ī₁ tutashadi, chunki a va b nuqtalardan hech qanday to'g'ri chiziq o'tmaydi; Axiomlarning I ₂ dan I₈ gacha bajarilishi aniq.
Keling, tizim * mos kelishini isbotlaylik . Buning uchun 1-misolda ko'rib chiqilgan talqinga biroz o'zgartirish kiritaylik. Nuqtalar va samolyotlar 1-misoldagi kabi talqin qilinadi. Quyidagi beshta quyi to'plami satrlar deyiladi: {a, c}, {a, d}, {b, c}, {b, d], va { c, d}. Ayon bo'lishicha, bu bilan Tizimning barcha aksiomlari * bajariladi : axiom Ī₁ tutashadi, chunki a va b nuqtalardan hech qanday to'g'ri chiziq o'tmaydi; Axiomlarning bajarilishi I ₂ - I₈ aniq.
Agar axiom A sistemaning boshqa aksiomalariga bog'liq bo'lsa , u holda u axiomlar ro'yxatidan urilishi mumkin va G(T) teoremasini faqat sistemaning axiomlari yordamida qurish mumkin ^/ = \{A}.
Albatta, har bir aksiom boshqalardan mustaqil bo'lgan aksiomlar sistemasiga ega bo'lish maqsadga muvofiqdir.Bunday aksiomlar sistemasi mustaqil sistema deyiladi. Ba'zi hollarda, bunday tizimni berilgan tizimdan boshqalariga bog'liq bo'lgan aksiomlarni ketma-ket urish orqali olish mumkin.
Ammo bu tizim shunday boʻlishi mumkinki, uning baʼzi axiomlari uchun ularning qolganlardan bogʻliqligi yoki mustaqilligi masalasini koʻtarish hatto maʼnosizdir. Hilbertning aksiomatikasida ham shunday. Hilbertning ayrim axamiyatining mustakamligi haqida gapirib bo'lmaydi, chunki yana bir qancha axamiyat ularning mazmuniga bog'liq. Paschning aksiomining mustaqilligi haqidagi savolni boshqa barcha aksiomlardan ko'tarish befoyda, chunki, masalan, konversiyaning aksiomlarini shakllantirish uchun bizda nur va yarim samolyot tushunchalari bo'lishi kerak va bu tushunchalar Paschning aksiomi asosida joriy etiladi. Shuning uchun Paschning aksiomini e'tibordan chetlatadigan bo'lsak, u holda III guruhning ayrim aksiomlarini shakllantirib bo'lmaydi.
Agar axiom A sistemaning boshqa aksiomlaridan mustaqil bo'lsa, u holda sistema * mos bo'lib, T * jinsining strukturalaridan farqli bo'lgan strukturalarini aniqlaydi. Hilbertning aksiom sistemasi _H = {I, P , III, IV , V} deb hisoblaganimizda shunday hal qilamiz va Lobachevskiyning geometriya L ={I, II, III, IV, V*}ning aksiomlari tizimi bo'lib, unda V * Lobachevskiyning aksiomi bo'lib, bu V postulatning negativligidir . Keyinchalik ko'rinib turganidek, _H va _L axiomlarining ikkala sistemasi ham bir-biriga mos keladi.
3. Aytaylik, axiomlarning izchil tizimi berilgan bo'lib, unda ₁, ₂..., _k. Aytaylik, quyidagi shartlarni qanoatlantiruvchi axiom A mavjud:
a) Axiom A ta'limot bo'yicha D() shakllanadi va shu sababli yangi aloqalarni joriy etmaydi;
b) axiom A sistemaxoi axsiomlaridan mustaqil ;
c) axiom sistemasi U {A} mos keladi.
Bunda axiom sistemasi to'liq emas (aniqroq qilib aytganda, deduktiv jihatdan to'liq emas) deyiladi. Agar bunday axiom A bo'lmasa, u holda sistema to'liq (deduktiv tugal) deb aytiladi.
Aytaylik, aksiomlar sistemasi to'liq emas va shuning uchun yuqoridagi shartlarni qanoatlantiruvchi axiom A mavjud a), b, c). Shartga ko'ra (c) axiomlar ^{tizimi /}= {A} mos keladi, A esa sistemaning aksiomlariga bog'liq bo'lmagani uchun (b shartga ko'ra) axiomlar = U {Ā } tizimi ham mos keladi. Keling, M/ orqali bildiraylik, M tizimlarning har qanday talqinlari /, mos ravishda. Since / and //, M ^/ and M ham axiom tizimlarining talqinlari.
Lekin M/ ning talqinida axiom A amalga oshadi va M talqinida axiom Ā (A emas) amalga oshadi va shuning uchun M^/ va M ( tizim) talqinlari izomorf emas. (Taʼtillarni oʻzlashtirishni oʻz M^/ va M izomorf bo'lib, so'ngra olamizki, fundamental aloqalar 1, ..., _k ikkala xossaga ham ega bo'lishi kerak {a 1, ..., A t, A } va xossalari {A ₁, ..., A_t , Ā), qaysi, albatta, mumkin emas.) Shunday qilib, agar aksiomlar tizimi to'liq bo'lmasa, u holda uning uchun izomorf bo'lmagan talqinlar mavjud.
Aksiomlarning to'liq (to'liq bo'lmagan) tizimi ta'rifidan kelib chiqib, axiomalarning har bir barqaror tizimi to'liq yoki to'liq emasligiga ergashadi. Shuning uchun, agar aksiomlar tizimining barcha talqinlari izomorf bo'lsa (bunday aksiomlar tizimi ko'pincha turkumli deb ataladi ), u holda bu tizim o'z-o'zidan tamom bo'ladi. Lekin, agar aksiomlar tizimi deduktiv ravishda tugallansa, u ham kategoriyali bo'ladi, degan gapga amal qilmaydi.
Xulosa qilamizki, axiomlarning berilgan tizimi to'liq ekanligini isbotlash uchun uning barcha talqinlari izomorf ekanligini isbotlash kifoya.
4-misol.Axioms A 1-A ₄ tizimiga guruhning tuzilishini aniqlovchi, yangi aloqalarni joriy etmaydigan bu axiomlardan mustaqil A 5 axiom qo'shish mumkinligi va shu tariqa izchil tizim A 1-A ₅ (abelian guruhining tuzilishini aniqlovchi) axiomlar tizimi A _{1 ning xulosasini chiqarish imkoniyatini yaratadi}—₄ guruhli tuzilish to'liq emas.
5-misol. Absolyut geometriyaning aksiomlar sistemasini ko'rib chiqaylik, ya'ni Hilbert aksiomlarining birinchi to'rt guruhidan iborat bo'lgan tizim = {I, II, III, IV}. Bu sistema to'liq emas, chunki unga shu sistemaning aksiomlaridan mustaqil ravishda parallelizm V ning aksiomini qo'shish mumkin , H barqaror sistema olinadi.
Aksiom sistemasi izchil bo'lsin va T. jinsining strukturalarini aniqlasin. Agar bu strukturalarning barchasi izomorf bo'lsa (ya'ni, aksiom sistemasi turkumlangan bo'lsa), u holda G(T) teoremasi aniq deb aytiladi. Agar esa T jinsining barcha strukturalari izomorf bo'lmasa (ya'ni aksiomalar sistemasi kategoriyasiz bo'lsa), u holda G(T) teoremasi ko'p ma'noga ega bo'ladi. Zamonaviy matematikada poliemantik nazariyalarga (masalan, guruh nazariyasiga) duch kelish odatiy hol emas.
Aksiomlar tizimining deduktiv to'liqligi ba'zan boshqacha aniqlanadi. Yuqoridagi ta'rif ma'nosida aksiomlar tizimi deduktiv jihatdan to'liq bo'lmasin. A taklifi haqida nima deyapsiz? A) ta'rifdagi holatdan A taklifi D() ta'limoti bo'yicha shakllantirilganligini bilamiz. Bu holatdan kelib chiqib b) A taklifning D () ta'limotida asossiz ekanligi (ya'ni, aksiomlarning mantiqiy oqibati sifatida deduksiya qilib bo'lmaydi ). Shartdan kelib chiqib, bu nazariyada Ā (A emas) taklifi ham asossiz degan xulosaga kelishimiz mumkin.
A taklifi Ā provable bo'lsa soxta deb aytiladi. Biz quyidagi ta'rifga yetib kelamiz: axioms tizimi D () ta'limoti bo'yicha ishlab chiqiladigan A taklifi bo'lsa, deduktiv ravishda to'liq emas deb aytiladi , bu esa berilgan ta'limotda asossiz va rad etib bo'lmaydi.
Agar, boshqa tomondan, har bir taklif uchun A D () nazariyasi tushunchalari bo'yicha shakllantirilgan bo'lsa, yoki bu taklif yoki uning negativ Ā provable bo'lsa, u holda aksiomlar tizimi deduktiv ravishda to'liq bo'lgan.