Геометрия до Евклида

17 Geometriya maktabi kursining axiyri to'g'risida.

1. Axiomlarning turli tizimlari maktab geometriya kursining deduktiv qurilishi uchun asos sifatida qo'llaniladi. Jumladan, umumiy o'rta ta'lim maktabining VI-VIII sinflarida A. V. Pogoredovning geometriyaga oid o'quv qo'llanmasi joriy etilishidan oldin A. tahrir qilgan darslikdan planimetriya o'rganildi. H. Kolmogorova. Ushbu qo'llanmaning planimetriyaning aksiom tizimida Evklid samolyotining tuzilishining asosi uchta to'plamdan iborat: E, F va G to'plamdan iborat bo'lib, unda E nuqtalar to'plami, F chiziqlar to'plami va G ba'zi manfiy bo'lmagan miqdorlar to'plami bo'lib, ular masofalar deb ataladi. Asosiy munosabatlar nuqta va chiziqlarga tegishli bo'lishning bog'liqligi, xaritalash bilan aniqlanadigan ternariy aloqasidir &: E X E G. Axiomlarni shakllantirmaymiz. H. Kolmogorov; Bu savolga qiziquvchi o'quvchi uchun biz sizni [4] kitobiga havola qilamiz (IV bo'lim, § 19).
So'nggi yillarda umumiy o'rta ta'lim maktablari uchun geometriya fani bo'yicha bir qator sinov darsliklari chop etildi. Bu darsliklarda geometriya kursi ham aksiomlar tizimi asosida deduktiv ravishda quriladi. Dastlabki aksiomatika A. D. Aleksandrov, A. L. Werner va V. I. Ryzhik ¹ ning sinov geometriya darsliklaridagi geometriya kursining asosidir. Ushbu o'quv qo'llanmada berilgan aksiomlar sistemasida Evklid samolyoti tuzilishining asosi ikki to'plam, nuqtalar to'plami va segmentlar to'plamidan iborat bo'lib, chiziq segmentlar bilan aniqlanadi.
L. S. Atanasyan, V. F. Butuzov, S. B. Kadomtsev, E. G. Poznyaklarning sinov darsliklaridagi geometriya kursining asosi boʻlgan aksiomlar tizimi Hilbertning aksiomalari tizimiga oʻxshaydi. Strukturaning asosi Hilbertga koʻra Evklid boʻshligʻi tuzilishining asosi sifatida E, F, G toʻplamlaridan iborat (E – nuqtalar toʻplami, F — chiziqlar toʻplami, G — samolyotlar toʻplami; 2 § 11 misoliga qarang).E, F va G to'plamlar tizimidagi asosiy aloqalar , Hilbert tizimida bo'lgani kabi, ₁, ₂ - aloqalar bo'lib, ular "yotadi" va "o'rtasida yotadi" so'zlari bilan belgilanadi, lekin 3 (" segmentlar va burchaklar tengligi") munosabati o'rniga 3^* ("superpozitsiya") yangi _bog'liqlik joriy etiladi. Bu farq katta ahamiyatga ega, chunki Hilbertning konversiya axiomlari o'rniga boshqa aksiomlar (superimpozitsiyaning aksiomlari) shakllanadi va shuning uchun raqamlarning tengligi haqidagi barcha atamalar va teoremalar Hilbert sxemasidan kelib chiqib, turlicha isbotlanadi.
2. Keling, L. S. Atanasyan va boshqalar tomonidan geometriyaning sinov darsliklarida berilgan planimetriyaning aksiomatikasini batafsilroq ko'rib chiqaylik. ¹
Evklidli samolyot E2 ning struktura bazasi ikki to'plamdan iborat: E (nuqtalar to'plami) va F (chiziqlar to'plami ). Asosiy munosabatlar quyidagicha: a) nuqta va chiziqlarga "tegishli"; b) bitta chiziqning uch nuqtasi uchun «yotish» (agar B nuqta A va C nuqtalari orasida yotsa, u holda uni quyidagicha yozamiz: A— B— C); c) "superimpozitsiya", ya'ni f : E.
Biz bu erda taqdim etadigan aksiomlar tizimi asosiy o'rinda maktab o'quv dasturining aksiomatikasi bilan mos keladi, ammo u bilan taqqoslaganda biroz zaiflashadi. Maktab o'quv dasturiga aksiom shaklida qo'shimcha jumlalar kiritilishiga metodik e'tibor berish sabab bo'ladi.
_{Biz A} tomonidan bildirilgan aksiomlar tizimi besh guruhga bo'lingan o'n besh aksiomdan iborat.
1.Tegishlilik omuzishi.
I₁. Ikki nuqta qanday boʻlishidan qatʼi nazar, oʻsha nuqtalardan oʻtayotgan toʻgʻri chiziq bor, faqat bittasi.
II₂. Har bir chiziqda kamida ikkita nuqta bor. Kamida uchta nuqta borki, ular bitta chiziqda yotmaydi.
II.Farmonning axiolari.
II₁. Agar A—B—C bo'lsa, u holda A, B va C bir xil chiziqning turli nuqtalari va C— B— A.
II₂.A va B nuqtalar qanday bo'lishidan qat'iy nazar, kamida bitta nuqta C shundayki, A— B— C.
II₃. Chiziqning uch nuqtasi orasida qolgan ikkitasi orasida birdan ortiq nuqta yotmaydi.
Bu axiomlar asosida segment tushunchasi joriy etiladi. A segment AB – A, B nuqtalar va o'rtasida yotgan barcha nuqtalardan iborat bo'lgan to'plam . A va B nuqtalar A chiziqning bir tomonida (qarama-qarshi tomonlarida) aytiladi agar A segment A qator bilan umumiy nuqtalar bo'lmasa (AB segmenti a chiziq bilan umumiy bo'lgan faqat bitta ichki nuqtaga ega).
II₄.Har bir chiziq ushbu chiziqda yotmagan samolyotning barcha nuqtalari to'plamini ikkita quyi to'plamga (yarim samolyotlarga) bo'linadi, shunda bir xil quyi to'plamning har qanday ikki nuqtasi chiziqning bir tomonida yotadi va turli quyi to'plamlarning har qanday ikki nuqtasi ushbu chiziqning qarama-qarshi tomonlarida yotadi.
Bu axamiylardan foydalanib, nurlanish tushunchasi kiritiladi va qo'shimcha nurlar teoremasi isbotlanadi. Bu nazariya metodologik sabablarga ko'ra o'rta maktab darslikda aksiom sifatida qabul qilinadi (axiom 5). So'ngra burchak tushunchasi kiritiladi: nuqta va shu nuqtadan chiqayotgan ikki nurdan iborat bo'lgan figura burchak deyiladi. Bu nurlar bir chiziqda yotsa burchak teskari deb aytiladi.
III. Bir-biriga to'g'ri keladigan aksiomlar.
III₁. Superimpozitsiya – samolyotning o'ziga in'ektsiya xaritasi.
III₂. Agar, superimpozitlanganda A, M, B nuqtalari mos ravishda A/, M/, B/ va A-M-B nuqtalariga o'tsa, u holda A/— M/ — B^/.
F figura F/ figuraga F figura o'tadigan bir-biriga qarama-qarshi bo'lsa F/ figuraga teng (bir-biriga mos) deb aytiladi. F = F/ ko'rsatkich F figuraga tengligini bildiradi.
A va B ikki nuqtadan iborat bo'lgan figurani {A, B} deb ko'rsatadi.
III₃. Agar {A/, B/} = {A, B} va {A //B}= {A, B}, u holda {A/, B/} = {A //B }.
III₄.Agar A/ nuqtadan chiqayotgan bir juft nuqta {A, B} va bir nur h berilgan bo'lsa, u holda bitta va faqat bitta nuqta B/ nur h bo'lsa, shundayki , = {A, B } = {A/, B^/}.
Bu aksiomlardan foydalanib, superpozitsiyadagi figuralar tasvirlari haqida bir necha teoremalarni isbotlash mumkin: har qanday superpozitsiyada, segment segmentga aylanadi, nur nurga aylanadi, burchak burchakka aylanadi va un-bog'lanmagan burchak bog'lanmagan burchakka aylanadi. Shunday qilib, burchaklarning tengligi haqida gapirishimiz mumkin: burchak hk burchak h /k^/ burchakka teng bo'lsa, h /k/ agar shunday qoplama f (h⁾ bo'lsa, burchak h /k/ ga teng bo'ladi = h/ va f (k) = k/ yoki f (h) = k/ va f ( k) = h^/.
III₅. Agar o'zgarmas burchak hk va bayroqcha (O/, h/,/) berilgan bo'lsa, u holda O/ nuqtadan chiqayotgan yarim tekislik / ning bitta va yagona nur k/ bo'ladi , shundayki, hk = h /k ^/. Har bir burchak o'ziga teng.
III₆. Agar o'zgarmas burchak hk burchak h /k ga teng bo'lsa, u holda rentgen h/ va nur k ga o'tadigan qoplama bor k /, nur h nurga o'tadigan qoplama k ^/ va nur k nurga h^/.
Bu axamiylardan foydalanib, metodologik sabablarga ko'ra o'rta maktab uchun sinov darslikda aksiom sifatida qabul qilingan bir necha teoremalarni isbotlash mumkin ( 8, 12, 13 va 14-axromlar).
Motion — har qanday juft {A, B} teng juft {A/, B/} ga aylanadigan samolyotning har qanday bijeksiyasi. I, II va III guruhlarning aksiomlari yordamida superpozitsiya va harakat tushunchalari bir-biriga mos kelishini ko'rsatish mumkin.
IV. Davomiylik axiolari.
IV 1 (Arximedning aksiom), AB va CD ba'zi segmentlar bo'lsin. So'ngra, AB to'g'ri chiziqda A₁, A ₂, ..., A_n nuqtalarining sonli to'plami mavjud, shunday qilib, quyidagi shartlar qanoatlantiriladi:
a) A 1—A 2, A ₁—A 2—A ₃, ..., A_n-2—A _n—1—A _{n ,}
б) AA₁, =A ₁A₂ = ... = A _{n-1,A n} = CD.
в) A --В—A _n.
Yuqorida sanab o'tilgan aksiomlarning kokollari segmentlarni o'lchash nazariyasidir (XI bobga qarang). Ayniqsa, uni ko'rsatish mumkinki, birlik segmentini tanlash orqali har qanday segmentni oliy o'quv yurti kursidan ma'lum tarzda o'lchash mumkin. Binobarin, har bir segmentga musbat son tayinlanadi, shunda teng segmentlarga bir xil son to'g'ri keladi. Agar A—B—C bo'lsa, u holda A segmenti AB va miloddan avvalgi segmentlarga to'g'ri keladigan sonlar yig'indisiga teng songa to'g'ri keladi. Jumladan o'quv qo'llanmada bu gap axiom 15 bilan ifodalangan.
IV₂. Har qanday musbat haqiqiy son d uchun , tanlangan birlik segmenti uchun uzunligi d bo'lgan segment mavjud.
Parallel chiziqlarning aksiomlari.
V. Berilgan chiziqda yotmaydigan nuqta orqali, chiziq va nuqta bilan aniqlangan tekislikda berilgan chiziqqa parallel bo'lgan bittadan ortiq chiziq o'tmaydi.

1. 
   Ushbu bobda I, II, IV va V guruhlarining barcha aksiomalari G (_W ) nazariyasida haqiqatni ushlab turishi ko'rsatilgan. Har bir superimpozitsiya harakat bo'lganligi sababli, III guruhning aksiomalari bu nazariyada ushlab turadi. Shuning uchun § 84 teoremasiga o'xshash teorema mavjud.