Mühaziry riyazi mYntiqin elementlYri

Teorem 2. Matrisin sYtirlYr, sütunlar vY minorlar üzrY ranqları bYrabırdir.

İsbatı. Teoremi isbat etmYk üçün göstYrmYk kifayYtdir ki, matrisin sYtirlYr üzrY s ranqı bazis minorun tYrtibinY bYrabYrdir. Bazis minorun sol yuxarı küncdY yerlYşdiyini fYrz edYk. Teorem 1-Y YsasYn bazis minor yerlYşYn sYtirlYr xYtti asılı deyil. Buna görY dY, xYtti asılı olmayan sYtir vektorlarının maksimal s sayı bazis minorun r tYrtibindYn kiçik deyil: . GöstYrYk ki, . ksini fYrz edYk, yYni tutaq ki, xYtti asılı olmayan s sayda sYtirlYr sistemi vardır vY . Teorem 1-Y YsasYn bu sYtirlYrin hYr birini bazis minor yerlYşYn sYtirlYrin xYtti kombinasıyası kimi yazmaq olar:

.

Onda, bYrabYrliyindY yuxarıdakı münasibYtlYri nYzYrY alsaq, yaza bilYrik:

.

Bazis minor yerlYşYn sYtirlYr xYtti asılı olmadığından buradan aşağıdakı sistemi alırıq:

.

Bu sistemdY dYyişYnlYrin sayı tYnliklYtin sayından çoxdur. DemYli, onun qeyri-trivial hYlli vardır,

yYni bYrabYrliyindY Ymsallardan bYzilYri sıfra bYrabYr deyil. Alınan

ziddiyyYt göstYrir ki, ola bilmYz. BelYliklY, vY . Onda, vY bununla teorem

2 isbat olundu.

Bu teorem göstYrir ki, matrisin bir yolla, mYsYlYn sYtirlYr üzrY tYyin olunan ranqı digYrlYri ilY eynidir. Bu ümumi qiymYt matrisin ranqı adlnır vY kimi işarY olunur. Eyni zamanda buradan verilYn matrisin ranqını hesablamaq üçün Ylverişli üsul alınır. Bu üsul aşağıdakı kimidir. Verilmiş matrisi sYtirlYr üzYrindY I vY II növ elementar çevirmYlYr vasitYsi ilY pillYli şYklY gYtirmYk lazımdır. PillYli matrisin ranqı sıfırdan fYrqli sYtirlYrin sayın bYrbYrdir. Elementar çevirmYlYr zamanı bazis minor mütlYq qiymYtcY dYyişmYz qaldığı üçün, alınan pillYli matrisin ranqı verilYn matrisin ranqına bYrabYr olacaqdır.

NYticY. XYtti tYnliklYr sistemini npillYli şYklY gYtirdikdY alınan pillYli matrisin sıfır olmayan sYtrlYrinin sayı elementar çevirmYlYrdYn asılı olmayıb, sistemin matrisinin ranqına bYrabYrdir.

Misal . Aşağıda verilYn matrisin ranqını tapaq:

.

Bu matrisi elementar çevirmYlYr vasitYsi ilY pillYli şYklY gYtirYk. Bunun üçün YvvYlcY birinci sYtri -Y vuraraq ikinci sYtrY vY -1 -Y vuraraq, üçüncü sYtrY YlavY edYk:

;

ikinci sYtri -1 -Y vuraraq, üçüncü sYtrY YlavY etsYk, aşağıdakı pillYli matrisi alarıq:

.

Bu matrisin iki sıfırdan fYrqli sYtri olduğuna görY olacaqdır.

Matrisin ranqı anlayışının böyük YhYmiyyYti vardır. Kroneker –Kapelli teoremi adlanan aşğıdakı teorem tYnliklYr sisteminin uyuşan olması üçün YlamYt verir.

Teorem 3. sas matrisi A, genişlYnmiş matrisi isY B olan

xYtti tYnliklYr siteminin uyuşan olması üçün olması zYruri vY kafidir.

İsbatı. vvYlcY fYrz edYk ki, sistem uyuşandır, yYni onun hYlli vardır.

Onda, genişlYnmiş matrisin sonuncu sütununu A matrisinin sütunlarının xYtti kombinasiyası kimi yazmaq olar:

.

Onda bu matrislYrin sütunlar üzrY ranqları eynidir. DemYli, .

TYrsinY, YgYr olarsa, onda A matrisinin r sayda xYtti asılı olmayan sütun vektorlar sistemi vardır. Tutaq ki, bu sistem -dir. ŞYrtY YsasYn onlar B matrisinin sütunları içYrisindY dY maksimal sayda xYtti asılı olmayn sistem olacqdır. gYr bu sistemY genişlYnmiş matrisin sonuncu vektorunu YlavY etsYk xYtti asılı sistem alarıq. Onda hamısı sıfır olmayan elY YdYdlYri var ki , olur. Burada , Yks halda vektorlarının xYtti asılı olduğu alınır ki, bu da ziddiyyYt YmYlY gYtirir. BelYliklY, vektorunu YvvYlki vektorların xYtti kombinasiyası kimi yazmaq olar:

.

Bu bYrabYrlik göstYrir ki, sistem uyuşandır. Teorem 3 isbat olundu.

MühazirY 22. XYtti fYzanın Ysas anlayışları

Tutaq ki, hYr hansı çoxluğu vY bu çoxluqda “+” kimi işarY olunan binar YmYl verilmişdir. meydanı götürYk vY düz hasilindY kimi tYyin olunan inikasa baxaq.

TYrif. Aşağıdakı şYrtlYr ödYnilYrsY cütü xYtti fYza adlanır:

1) cYbri kommutativ qrupdur;

2. 
   inikası aşağıdakı şYrtlYri ödYyir:
   

a) ;

b) ;

c) ;

d) .

Qeyd etmYk lazımdır ki, baxılan inikası ixtiyari skalyarı üçün inikasını tYyin edir. Bu inikas çoxluğunda unar YmYl müYyyYn edir. Buna görY dY xYtti fYzanı 1) vY 2) şYrtlYrini ödYyYn cYbri kimi dY tYyin etmYk olar.

Misallar.1. HYr bir meydan özü üzYrindY xYtti fYzadır.

2.MüstYvi üzYrindY hYr hansı O nöqtYsi qeyd edYk. Başlanğıcı bu nöqtYdY olan bütün mümkün istiqamYtlYnmiş parçalar çoxluğu (bağlı vektorlar çoxluğu), YvvYlki mövzulardan mYlum olduğu kimi, kommutativ qrup YmYlY gYtirir. Bu vektorlar çoxluğu xYtti fYza tYşkil edir.

3. YdYdi xYtti fYza R hYqiqi YdYdlYr meydanı üzYrindY xYtti fYza tYşkil edir. Bu xYtti fYza n-ölçülü YdYdi xYtti fYza adlanır.

4.ElementlYri hYr hansı K meydanşndan olan bütün ölçülü matrislYr çoxluğu hYmin meydan üzYrindY xYtti fYza tYşkil edir.

5. ilY parçasında tYyin olunmuş kYsilmYz funksiyalar çoxluğunu işarY edYk. Bu çoxluq funksiyaların toplanması YmYlinY görY kommutativ qrup YmYlY gYtirir. Aydındır ki, kYsilmYz funksiyanın sabitY hasili dY kYsilmYzdir. Yoxlamaq olar ki, xYtti fYzanın bütün aksiomları ödYnilir. BelYliklY, parçasında tYyin olunmuş kYsilmYz funksiyalar çoxluğu xYtti fYza tYşkil edir.

XYtti fYzanın bilavasitY tYrifdYn alınan sadY, lakin mühüm xassYlYri vardır. Tutaq ki, xYtti fYzası verilmişdir.

XassY 1. İxtiyari elementi üçün .

İsbatı. TYrifdY 2), a) şYrtinY YsasYn . qrupunda ixtisar qanununa görY buradan münasibYti alınır.

XassY 2. İxtiyari elementi üçün .

İsbatı. olduğundan Yks elementin tYrifinY YsasYn .

XassY 3. İxtiyari elementi üçün .

İsbatı. TYrifdY 2), b) şYrtinY YsasYn . qrupunda ixtisar qanununa görY buradan münasibYti alınır.

XassY 4. İxtiyari elementi vY ixtiyari vektoru üçün

.

İsbatı. Tutaq ki, . Onda tYrs elementi vardır vY verilYn bYrabYrliyin hYr iki tYrYfini bu elementY vursaq alarıq:

.

XassY 5. İxtiyari elementi vY ixtiyari vektoru üçün

.

İsbatı. Doğrudan da,

vY

.

Bu münasibYtlYrdYn isY tYlYb olunan bYrabYrliklYr alınır.

Analoji olaraq aşağıdakı iki xassY dY isbat olunur.

XassY 6. İxtiyari elementlYri vY ixtiyari vektoru üçün

.

XassY 7. İxtiyari elementi vY ixtiyari vektorları üçün

.

XYtta fYza anlayışı ilY bağlı olan Yn mühüm anlayışlardan biri xYtti kombinasiya anlayışıdır. Tutaq ki, vektorlar vY skalyarlar sistemi verilmişdir. cYminY verilYn vektorlar sisteminin Ymsalları olan xYtti kombinasiyası deyilir. Aydındır ki, bütün Ymsallar sıfra bYrabYrdirsY, onda xYtti kombinasıya özü dY sıfra bYrabYrdir. BelY xYtti kombinasiyanı trivial xYtti kombinasiya adlandıraq.

TYrif 1. vektorlar sisteminin sıfra bYrabYr olan qeyri trivial xYtti kombinasiyası varsa, onda belY vektorlar sistemi xYtti asılı sistem adlanır.

TYrif 2. mülahizYsi doğrudursa, onda vektorlar sisteminY xYtti asılı olmayan sistem deyilir.

dYdi xYtti fYzada olduğu kimi xYtti asılı olan vY olmayan sistemlYrin aşağıdakı mühüm xassYlYri vardır.

XassY 1. gYr vektorlar sisteminY 0 vektor daxildirsY, onda bu sistem xYtti asılıdır.

XassY 2. gYr vektorlar sistemi xYtti asılı deyilsY, onda onun ixtiyari alt sistemi dY xYtti asılı deyil.

XassY 1 vY 2 -nin isbatları tamamilY YdYdi xYtti fYzalarda olduğu kimidir. Kontrapozisiya qanunundan istifadY etmYklY asanlıqla aşağıdakı xassYni isbat etmYk olar.

XassY 3. XYtti asılı sistemin istYnilYn genişlYnmYsi xYtti asılıdır.

XassY 4. VerilYn sistemin xYtti asılı olması üçün bu sistemin hYr hansı vektorunun digYr vektorların xYtti kombinasiyası kimi göstYrilY bilmYsi zYruri vY kafidir.

İsbatı. Tutaq ki, vektorlar sisteminin hYr hansı bir vektoru mYsYlYn, vektoru qalan vektorların xYtti kombinasiyası kimi göstYrilY bilir:

.

Onda,

vY sistem xYtti asılıdır.

TYrsinY, YgYr hamısı sıfır olmayan elY skalyarları tapmaq mümkün olsa ki,

olmaqla Ymsallardan heç olmasa biri, mYsYlYn, sıfırdan fYrqlidir. Onda alarıq:

,

vektorlardan biri qalan vektorların xYtti kombinasiyası şYklindY göstYrilir. XassY 4 isbat olundu.

TYrif 2. vektorlar sisteminin bütün mümkün

xYtti kombinasiyalar çoxluğuna verilYn sistemin xYtti örtüyü deyilir.

Aydındır ki, YgYr olarsa, onda vektorunu vektorlar sisteminin xYtti kombinasiyası şYklindY göstYrmYk olar. DemYli, bu halda vektorlar sistemi xYtti

asılıdır.

TYrif 3. İki vY vektorlar sistemi o zaman ekvivalent vektorlar sistemi

adlanır ki, bu sistemlYrdYn hYr birinin sıfırdan fYrqli hYr bir vektorunu digYr sistemin vektorlarının xYtti kombinasiyası şYklindY göstYrmYk mümkün olsun.

Teorem 1. Ekvivalent sistemlYrin xYtti örtüklYri bYrabYrdir.

İsbatı. Tutaq ki, . Onda müYyyYn skalyarları tapmaq mümkündür ki,

.

ŞYrtY YsasYn (aydındır ki, , Yks halda sıfYr vektoru xYtti örtüyü dYyişmYdYn sistemdYn kYnar etmYk olar)

.

DemYli,

.

Buradan alırıq, . Eyni qayda ilY Yks münasibYt göstYrilY bilYr. Teorem 1isbat olundu.

Teorem 2. vektorlar sisteminin xYtti örtüyü xYtti fYzadır.

İsbatı. İxtiyari iki vektorlarının cYmi xYtti örtüyY daxildir. Doğrudan da, vY olarsa, onda

.

DemYli, cYbri müYyyYn olunmuşdur vY asanlıqla yYqin etmYk olar ki, o, kommutativ qrupdur.

bYrabYrliyi ilY xYtti örtükdY skalyara vurma YmYli tYyin olunmuş olur. BelYliklY, biz cYbrini alırıq. XYtti fYzanın tYrifinY daxil olan aksiomlar cYbrindY dY ödYnilir. DemYli, o xYtti fYzadır. Teorem 2 isbat olundu.

TYrif. Tutaq ki, xYtti fYza, boş olmayan alt çoxluqdur. gYr cütü X –dY tYyin olunan Ymıllırı görY xYtti fYza YmYlY gYtirYrsY, bu xYtti fYza fYzasının alt fYzası adlanır.

NYticY. İxtiyari vektorlar sistemi üçün cYbri xYtti alt fYza tYşkil edir.

Misallar. 1. MüstYvi üzYrindY düzbucaqlı Dekart koordinat sistemindY koordinatları ilY verilmiş vektorlar çoxluğu, yYni cütlYr çoxluğu xYtti fYza YmYlY gYtirir. olduqda kimi cütlYr çoxluğu koordinat başlanğıcından keçYn düz xYtt müYyyYn edir. Bu düz xYtt alt fYza YmYlY gYtirir.

2.Yuxarıda gördük ki, aralığında tYyin olunmuş kYsilmYz funksiyalar çoxluğu xYtti fYza tYşkil edir. Bu aralıqda hYr bir diferensiallanan funksiya kYsilmYzdir. Bütün belY diferensiallanan funksiyaların çoxluğu alt fYza YmYlY gYtirir.

Teorem 3. sistemi xYtti asılı deyilsY vY olmaqla olarsa, onda vektorlar sistemi xYtti asılıdır.

İsbatı. ŞYrtY YsasYn ixtiyari indeksi üçün

.

vektorlar sisteminin sıfra bYrabYr olan hYr hansı xYtti kombinasiyasını götürYk:

. (1)

Yuxarıdakı bYrabYrliklYri nYzYrY alsaq, yaza bilYrik:

.

sistemi xYtti asılı olmadığı üçün buradan skalyarları üçün aşağıdakı xYtti bYrabYrliklYr sistemininn alarıq:

.

Bu sistemdY dYyişYnlYrin sayı tYnliklYrin sayından az deyil. DemYli, elementar çevirmYlYr vasitYsi ilY bu sistemi pillYli şYklY gYtirdikdY olacaqdır. Bu isY o demYkdir ki, sistem qeyri-müYyyYdir, yYni onun trivial sıfır hYllindYn başqa hYlli dY vardır. Bu isY o demYkdir ki, (1) xYtti kombinasiyasında bütün Ymsallar sıfır deyil. Onda vektorlar sistemi xYtti asılıdır. Teorem 3 isbat olundu.

MühazirY 23. XYtti fYzanın ölçüsü vY bazisi.

Teorem 1. gYr vektorlar sistemi xYtti asılı deyilsY vY hYr hansı vektoru üçün isY sistemi xYtti asılıdırsa, onda x vektoru yeganY qayda ilY vektorlarının xYtti kombinasiyası kimi göstYrilY bilYr.

İsbatı. ŞYrtY YsasYn hamısı sıfır olmayan elY skalyrları tapmaq olar ki,

bYrabYrliyi ödYnilir. Qeyd edYk ki, bYrabYrliyi mümkün deyil, Yks halda

bYrabYrliyi ödYnmYklY Ymsallardan heç olmasa biri sıfırdan fYrqli olardı. Bu isY vektorlarının xYtti asılı olmayan sistem tYşkil etmYsi şYrtinY ziddir. BelYliklY, vY (1) bYrabYrliyindYn alırıq:

.

DemYli, x vektoru üçün tYlYb olunan göstYriliş vardır. Bu göstYrilişin yeganYliyini isbat etmYk üçün iki belY göstYriliş olduğunu fYrz edYk:

.

Bu bYrabYrlikdYn

yaza bilYrik. XYtti asılı olmayan sistemin tYrifindYn sonuncu bYrabYlikdYn , ,..., alırıq ki, bu da ayrılışların eyni olduğunu göstYrir. Teorem 1 isbat olundu.

TYrif 1. gYr xYtti fYzasında xYtti asılı olmayan sistem tYşkil edYn n sayda vektor varsa, vY ixtiyari n+1 vektordan ibarYt sistem xYtti asılıdırsa, onda deyilir ki, n ölçülü xYtti fYzadır.

XYtti fYzanın ölçüsünün n olması simvolik olaraq kimi yazılır.

Teorem 2. n ölçülü xYtti fYzada n sayda vektordan ibarYt xYtti asılı olmayan sistem vardır vY fYzanın hYr bir vektorunu yeganY qayda ilY bu sitemin xYtti kombinasiyası şYklindY göstYrmYk olar.

İsbatı. FYzada n sayda vektordan ibarYt xYtti asılı olmayan sisteminin olması fYzanın ölçüsünün tYrifindYn alınır. İxtiyari vektoru götürYrYk, onu xYtti asılı olmayan sistemY YlavY edYk. gYr bu vektor xYtti asılı olmayan sistemY daxil olan vektorlardan biri ilY üst -üstY düşYrsY, onda teoremin hökmü doğrudur. ks halda biz n+1 vektordan ibarYt sistem alarıq. ŞYrtY YsasYn bu sistem xYtti asılıdır. Teorem 1-Y görY vektorunu yeganY qayda ilY vektorlarının xYtti kombinasıyası kimi yazmaq olar. Teorem 2 isbat olundu.

TYrif 2. gYr xYtti fYzada xYtti asılı olmayan vektorlar sistemi varsa vY fYzanın hYr bir vektorunu bu sistemin xYtti kombinasiyası şYklindY göstYrmYk olarsa, onda belY vektorlar sisteminY xYtti fYzanın bazisi deyilir.

Teorem 2-yY YsasYn ixtiyari vektorun bazis vektorlar üzrY ayrılışı yeganYdir.

TYrif 3. Tutaq ki, bazisindY x vektorunun ayrılışı aşağıdakı kimidir:

.

Onda vektoruna x-in koordinat sYtri,

vektoruna isY x-in koordinatn sütunu, deyilir.

Teorem 2-yY YsasYn koordinat sYtri vY sütunu yeganYdir. Vektorun koordinat sütunu seçilmiş bazisdYn asılıdır vY bazis dYyişdikdY o dYyişir.

Teorem 3. n ölçülü xYtti fYzada hYr bir vektoruna onun koordinat sütununu (sYtrini) qarşı qoyan

inikası vY xYtti fYzalarının izomorfizmidir: .

İsbatı. Koordinat sütununun yeganY olmasından göstYrilYn inikasın biyektiv olması alınır. BelYliklY, ancaq bu inikasın baş YmYllYri saxladığını göstYrmYk qalır. FYrz edYk ki, x vY y vektorlarının verilYn bazisdY ayrılışları aşağıdakı kimidir:

, .

Onda vektorunun hYmin bazisdY ayrılışı

kimi olar. Koordinat sütununun yeganYliyindYn alırıq: . BelYliklY, inikası toplama YmYlini saxlayır. Analoji olaraq göstYrmYk olar ki, o, skalyara vurma YmYlini dY saxlayır. Teorem 3 isbat olundu.

Teorem 4. n ölçülü xYtti fYzada verilmiş xYtti asılı olmayan ixtiyari ( ) vektorlar sistemini fYzanın bazisinYdYk tamamlamaq olar.

İsbatı. Verilmiş vektorlar sisteminin xYtti örtüyünY baxaq. Onun ölçüsü bazis elementlYrin sayına, yYni k-ya bYrabYrdir. Lakin olduğu üçün xYtti örtük bütün fYza ilY üst-üstY düşY bilmYz. DemYli, vektoru vardır. sistemi xYtti asılı ola bilmYz. Doğrudan da, fYrz edYk ki,

olmaqla Ymsallardan heç olmazsa biri sıfırdan fYrqlidir. ola bilmYz, Yks halda alardıq. Lakin sistemi xYtti asılı olmadığı üçün buradan alınardı ki, bu yuxarıdakı fYrziyyYmizY ziddir. BelYliklY, sistemi xYtti asılı deyil vY YgYr olarsa, onda eyni mühakimYlYri tYtbiq etmYklY vektoru tapmaq olar. Bu prosesi vektoru tapılanadYk davam etdirY bilYrik. Teorem 1-Y YsasYn hökm etmYk olar ki, . Teorem 4 isbat olundu.