Mühaziry riyazi mYntiqin elementlYri

MühazirY 18. Minor vY cYbri tamamlayıcı. TYrs matris

n tYrtibli determinantında elementinin yerlYşdiyi sYtir vY sütunu determinantdan kYnar etsYk, tYrtibli determinant alarıq.

TYrif 1. tYrtibli determinantda i nömrYli sYtri vY j nömrYli sütunu atmaqla alınan tYrtibli determinanta elementinin minoru deyilir vY kimi işarY olunur.

MYsYlYn,

determinantında minorunu tapmaq üçün determinantın 2-ci sYtrini vY 3-cü sütununu ataraq, alınan 2 tYrtibli determinantı hesablayaq:

.

TYrif 2. ifadYsinY elementinin cYbri tamamlayıcısı deyilir.

MYsYlYn, yuxarıdakı misalda . Minor vY cYbri tamatlayıcının Ysas xassYsi aşağıdakı teorem ilY ifadY olunur.

Teorem 1. Determinant onun ixtiyari sYtir elementlYrinin öz cYbri tamamlayıcılarına hasillYrinin cYminY bYrabYrdir:

.

İsbatı. Teoremi YvvYlcY i=1 halı üçün isbat edYk. 1-ci sYtri n sayda sYtirlYrin cYmi kimi yazaq:

.

Onda xassY 8-Y görY, determinant n sayda determinantın cYminY ayrılır:

.

vvYlcY birinci determinantı hesablayaq. TYrifY YsasYn,

. (1)

Bu cYmdY olduqda uyğun hasil sıfra bYrabYrdir, çünki, birinci sYtrin birinci elementindYn başqa, qalanları sıfra bYrabYrdir. BelYliklY, sağ tYrYfdYki cYmdY ancaq şYrtini ödYyYn toplananlar qalır. vuruğu bu halda ortaq vuruq olacaqdır. (1) cYmini belY yazaq:

. (2)

HYr bir şYklindY yerdYyişmY 2,...,n simvollarının n-1 elementli yerdYyişmYsini müYyyYn edir, çünki, YdYdlYri içYrisindY 1 YdYdi yoxdur. TYrsinY, YdYdlYrinin hYr bir yerdYyişmYsi, birqiymYtli olaraq, şYrtini ödYyYn YvYzlYmY tYyin edir. Buna görY dY (2) cYmini belY yaza bilYrik:

. (3)

İndi isY üçün olan ifadYdY ikinci determinanta baxaq. İkinci vY birinci sütunların yerini dYyişYk. Onda determinant işarYsini dYyişYr. Alınan determinanta yenY dY yuxarıda aparılan mühakimYlYri tYtbiq etmYklY, yaza biYrik:

.

Eyni qayda ilY -nın ifadYsinY daxil olan k-cı determinant üçün ifadYsini alırıq. BelYliklY, teorem i=1 halında isbat olundu.

Ümumi halda determinantın 1-ci sYtri ilY i-ci sYtrinin yerini dYyişYk vY alınan D determinantına yuxarıdakı mühakimYlYri tYtbiq edYk. Bu halda aşağıdakı ifadYni alarıq:

;

burada elementinin D determinantında minorudur. HYmin minorun, elemetinin verilYn determinantdakı minorundan fYrqi bundan ibarYtdir ki, birinci sYtir minorunda -ci yerdY dayanmışdır. Buna görY dY, bu sYtri özündYn YvvYlki sYtrlYrlY sayda ardıcıl yerdYyimY ilY birinci yerY gYtirmYk olar. Bu zaman onun işarYsi dYfY dYyişYcYk vY belYliklY, biz elementinin minorunu alırıq. DemYli, . Buna görY dY,

.

Teorem 1 isbat olundu.

Misal. Teorem 1-in kömYyi ilY determinantı hesablayaq:

.

Determinantı 2-ci sYtir elementlYri üzrY ayıraq:

.

Determinantın aşağıdakı xassYsini isbatsız qYbul edYk.

Teorem 2. Determinantın ixtiyari sYtir elementlYrinin başqa sYtrin uyğun elementlYrinin cYbri tamamlayıcılarına hasillYrinin cYmi sıfra bYrabYrdir:

.

TYrif 3.gYr n tYrtibli A vY B matrislYri üçün AB=BA=E bYrabYrliyi ödYnilYrsY onda deyilir ki, belY matrislYrY qarşılıqlı tYrs matrislYr deyilir, burada E n tYrtibli vahid matrisdir.

A matrisinin tYrsi kimi işarY olunur vY tYrifY YsasYn .

Tutaq ki, , , isY elementinin cYbri tamamlayıcısıdır.

_{matrisinY A matrisinin birlYşdirilmis matrisi deyilir. Teorem1 vY teorem 2-yY görY A matrisisnin i} nömrYli sYtri ilY matrisinin mömrYli sütununun hasili aşağıdakı kimidir:

<sub>Ona görY dY

Analoji hesablamalardan sonra aşağıdakı bYrabYrliklYr alınır:</sub>

.

Buradan görünür ki, YgYr olarsa, onda . BelYliklY, biz aşağıdakı teoremi isbat etdik.

_{Teorem 3. gYr A kvadrat matrisinin determinantı sıfırdan fYrqlidirsY, onda onun tYrsi vardır vY}

.

NYticY. Elementar matrisin tYrsi vardır.

Asanlıqla aşağıdakı bYrabYrliklYri yoxlamaq olar.

.

BelYliklY, elementar matrisin tYrsi dY elementar matrisdir.

Misal. Aşağıdakı matrisin tYrsini tapaq:

<sub>.

HYlli. vvYlcY matrisin determinantını hesablayaq:

olduğu üçün tYrs matris vardır.

BelYliklY,

.

Yoxlama:

.</sub>

Determinantın tYrifinY YsasYn hYr bir matrisinin determinantı vardır. Buna görY dY determinanta inikas kimi baxmaq olar: . Bu inikası bir qYdYr Ytraflı tYdqiq edYk. Yuxarıda isbat etdik ki, determinantı sıfır olmayan matrisin tYrsi vardır. ilY halqasının sıfırdan fYrqli determinantı olan matrislYri çoxluğunu işarY edYk. DeyilYnlYrY YsasYn, .

TYrif. Determinantı sıfırdan fYrqli olan matris qeyri- mYxsusi matris adlanır.

Teorem 4. matrisinin tYrsi olması üçün onun determinantının sıfırdan fYrqli olması zYruri vY kafidir.

İsbatı. Yuxarıda göstYrdik ki, YgYr olarsa, onda A matrisinin tYrsi vardır.

ZYruriliyi isbat etmYk üçün fYrz edYk ki A matrisinin tYrsi vardır. GöstYrYk ki, onun determinantı sıfır deyil. ŞYrtY YsasYn elY B matrisi vardır ki, . Aydındır ki, A matrisinin heç bir sütunu vY ya sYtri tamamilY sıfır ola bilmYz. MYsYslYn, onun birinci sYtri sıfır olardısa, onda hasilinin birinci sYtri dY sıfır olardı, çünki, bu sYtir A matrisinin birinci sYtrini B matrisinin sütunlarına vurmaqla alınır. FYrz etmYk olar ki, ; Yks halda müYyyYn iki sYtrin yerini dYyişmYklY buna nail olmaq olar vY hYm dY bu zaman determinantın ancaq işarYsi dYyişYr. Determinant üzYrindY ikinci növ elementar çevirmYlYr apararaq onun birinci sütununda elementindYn başqa qalanlarını sıfra çevirYk. Determinantın 9-cu xassYsinY YsasYn, bu çevirmYlYrdYn sonra determinant dYyişmYz. Prosesi davam etdirYrYk, onu pillYli şYklinY gYtirYk. BelYliklY, ancaq birinci vY ikinci növ elementar çevirmYlYrlY determinantı üçbucaq şYkilil hala gYtirmYk olar vY bu zaman determinantın ancaq işarYsi dYyişY bilYr. XassY 7-yY görY alınan determinant diaqonal elementlYrin hasilinY bYrabYrdir. gYr diaqonal elementlYr hamısı sıfırdan fYrqli olarsa, onda determinant özü dY sıfırdan fYrqlidir vY bu halda teorem isbat olunmuş olar. İkinci halda sonuncu sYtir tamamilY sıfra bYrabYr olacaqdır (bu pillYli matrisin tYrifindın alınır). Onda yuxarıdakı qeydY YsasYn, eyni elementar çevirmYlYrlY vahid matrisi determinantı -Y bYrabYr olan matrisi şYklinY düşYr. BelıliklY, elementar çevirmYlYrdYn sonra alırıq. Yuxarıda deyilYnlYrY YsasYn, sol tYrYfdYki hasilin sonuncu sYtri sıfırdır. DemYli, sağ tYrYfdYki matrisin dY sonuncu sYtri sıfır olmalıdır ki, bu da mümkün deyil, çünki, deyildiyi kimi, onun determinantı sıfırdan fYrqlidir. Alınan ziddiyyYt ikinci halın mümkün olmadığını göstYrir. DemYli, . Teorem isbat olundu.

NYticY 1. Qeyri-mYxsusi matrisi sYtirlYr üzYrindY I vY II növ elementar çevirmYlYr aparmaqla yuxarı üçbucaq matrisY gYtirmYk olar.

Kramer qaydası

_{TYrs matrisin kömYyi ilY Ysas matrisi qeyri- mYxsusi olan xYtti tYnliklYr sistemini Kramer qaydası adlanan üsulla hYll etmYk olar. Bu qayda Kramer tYrYfindYn 1750-ci ildY verilmiş vY ancaq tYnliklYrin sayı dYyişYnlYrin sayına bYrabYr olduqda tYtbiq oluna bilYr. Aşağıdakı xYtti tYnliklYr sisteminY baxaq:}

(1)

vY sistemin matrisini ilY işarY edYrYk onu matrisli şYkildY yazaq:

, (2)

burada dYyişYnlYrdYn, isY sistemin sağ tYrYflYrindYki sYrbYst hYdlYrdYn düzYlYn sütun vektorlardır.

Teorem 5. (1) sisteminin müYyyYn olması üçün onun determinantının sıfırdan fYrqli olması zYruri vY kafi şYrtdir.

İsbatı. Tutaq ki, . Onda matrisinin tYrsi vardır vY (2) bYrabYrliyinin hYr iki tYrYfini matrisinY vuraraq alırıq:

. (3)

Aydındır ki, bu düsturla müYyyYn olunan vektor yeganYdir. O sistemin hYllidir, çünki,

.

DemYli, sistem uyuşandır. GöstYrYk ki, onun başqa hYlli yoxdur. Doğrudan da YgYr vY sistemin ixtiyari iki hYlli olarsa, onda yaza bilYrik:

.

belYliklY, hYllYr üst-üstY düşür, yYni sistem müYyyYndir.

İndi fYrz edYk ki, sistem müYyyYndir. XYtti tYnliklYr sisteminin hYllYri haqqında VII fYsil §3, teorem 3-Y YsasYn xYtti tYnliklYr sistemini pillYli şYklY gYtirdikdYn sonra olacaqdır. DemYli, sistemin matrisini pillYli şYklY gYtirdikdY diaqonqal matris alınır vY buna görY dY o, qeyri-mYxsusidir. Teorem 5 isbat olundu.

NYticY. gYr (1) sisteminin matrisi qeyri-mYxsusi olarsa onun yeganY hYlli aşağıdakı düsturların kömYyi ilY tapıla bilYr:

burada determinantından j-cu sütunu vektoru ilY YvYz etmYklY alınır.

İsbatı. (3) bYrabYrliyinY YsasYn

.

KYsrin surYtinY matrisinin j-cu sütununu vektoru ilY YvYz etmYklY alınan determinantın açılışı kimi baxmaq olar. DemYli, nYticY doğrudur.

MühazirY 19. MatrislYrin hasilinin determinantı

Teorem 1. Qeyri-mYxsusi matrisi elementar matrislYrin hasili şYklindY yazmaq olar.

İsbatı. VerilYn matrisi sYtirlYr üzYrindY I vY II növ elementar çevirmYlYrlY yuxarı üçbucaq şYklY gYtirmYk olar. YYni elY elementar matrislYri var ki,

;

burada matrisi aşağıdakı şYkildYdir:

.

Bütün diaqonal elementlYr sıfırdan fYrqlidir. Ancaq ikinci növ elementar çevirmYlYr yerinY yetirmYklY sonuncu sütunda axırıncı elelmentdYn başqa qalanlarını sıfra çevirmYk olar. Anloji olaraq, digYr sütunlarda da diaqonal elementlYrdYn yuxarıda dayanmış elementlYri sıfırlamaq olar. BelYliklY, biz alırıq:

;

burada

.

NYhayYt n sayda III növ kimi elementar çevirmYlYr yerinY yetirmYklY matrisi vahid matrisY çevirmYk olar. Son nYticYdY elY k natural YdYdi tapırıq ki,

.

Bu bYrabYrliyin hYr iki tYrYfini ardıcıl olaraq soldan ,..., matrislYrinY vursaq, alarıq: . Teorem 1 isbat olundu.

Teorem 1-dYn istifadY edYrYk matrisin tYrsinin hesablanması üçün 2-ci paraqrafda göstYrilYn üsuldan fYrqli üsul vermYk olar. Yuxarıda göstYrdik ki,

.

Bu bYrabYrlik göstYrir ki,

;

başqa sözlY, verilYn matrisi vahid matrisY çevirmYk üçün istifadY olunan elementar çevirmYlYr eyni ardıçıllıqla vahid matris üzYrindY yerinY yetirildikdY, bu matrisin tYrsini verir.

Bunu nYzYrY alaraq verilYn qeyri-mYxsusi matrisin tYrsini tapmaq üçün ona sağdan vahid matris qoşurlar. VerilYn matrisi vahid matrisY çevirmYk üçün istifadY olunan elementar çevirmYlYr eyni ardıcıllıqla qoşulan vahid matris üzYrindY yerinY yetirilir. NYticYdY qoşulmuş vahid matris axtarılan tYrs matrisY çevrilir.

Misal. Yuxarıda baxdığımız

<sub>matrisinin tYrsini deyilYn üsulla hesablayaq.

Matrisin sYtirlYri üzYrindY elementar çevirmYlYr yerinY yetirmYklY birinci matrisi (bloku) vahid matrisY gYtirYk. vvYlcY 1-ci vY ikinci sYtirlYrin yerini dYyişYk vY sonra yeni birinci sYtri 2-yY vuraraq ikinciyY YlavY edYk.</sub>

.

Alınmış matrisin ikinci sYtrini -0,5-Y, üçüncü sYtrini isY -0,125-Y vuraq vY elementar çevirmYlYri davanm edYrYk birinci blok-matrisi vahid matrisY gYtirYk:

.

BelYliklY,

Alınan nYticY yuxarıdakı ilY üst-üstY düşür.

Teorem 2. matrislYrinin hasilinin determinantı onların determinantlarının hasilinY bYrabYrdir: .

İsbatı. vvYlcY fYrz edYk ki, hYr iki matris qeyri-mYxsusidir. Yuxarıda deyilYnlYrY YsasYn, elY elementar matrislYr var ki,

olmaqla, vY

olmaqla, . Burada vY diaqonal matrislYrdir. Buna görY dY onları transponirY etdikdY dYyişmYz qalacaqdırlar. BelYliklY,

.

DigYr tYrYfdYn,

.

Elementar matrisi transponirY etdikdY yenY dY elementar matris alınır. Elementar matrisi hYr hansı matrisY sağdan vurduqda hYmin matrisin sütunları üzYrindY elementar çevirmYlYr yerinY yetirilmiş olur. BelYliklY,

bYrabYrliyi göstYrir ki, hasili matrisinin (bu matrislYrin hasilinin distributivlik xassYsindYn alınır) sYtir vY sütunları üzYrindY elementar çevirmYlYr yerinY yetirmYklY alınır. Asanlıqla yYqin etmYk olar ki, determinantın işarYsinin dYyişmYsinY sYbYb olan sYtir vY ya sütunların yerinin dYyişdirilmYsi yuxarıda A vY B matrislYri üzYrindY yerinY yetirilYn elementar çevirmYlYlrdY olan işarYdYyişmYlYrin ümumi sayına bYrabYrdir. BelYliklY, . DemYli, teorem qeyri- mYxsusi matrislYr üçün isbat olundu.

İndi isY fYrz edYk ki, verilYn matrislYrdYn biri, mYsYslYn, A matrisi qeyri-mYxsusi deyil. Asanlıqla yYqin etmYk olar ki,

bYrabYrliyi yenY dY doğrudur, lakin bu halda vY matrislYrinin diaqonal elementlYri içYrisindY sonuncusu sıfır olcaqdır. BelYliklY, sol tYrYfdYki matrisin determinantı sıfra bYrabYrdir. Sağ tYrYfdY elementar çevirmYlYrdYn sonra alınan matrisin determinantı AB hasilinin determinantından ancaq işarY ilY fYrqlYnY bilYr. DemYli, . Teorem 2 isbat olundu.

Teorem 3. Matrisin mYxsusi olması üçün onun sYtir vY ya sütunlarının xYtti asılı olması zYruri vY kafi şYrtdir.

İsbatı. Kafi şYrti sYtirlYr üçün göstYrmYk kifayYtdir, çünki sütunlar üçün eyni nYticYni transponirY olunmuş matrisY baxmaqla almaq olar. BelYliklY, tutaq ki, verilmiş A matrisinin sYtirlYri xYtti asılıdır. Onda xYtti asılı olan vektorların mYlum xassYsinY görY (VII fYsil, §1, xassY 4) hYr hansı sYtir, mYsYlYn n-ci sYtir qalan sYtirlYrin xYtti kombinasiyası kimi yazıla bilYr:

.

A matrisi üzYrindY ikinci növ aşağıdakı elementar çevirmYlYri aparaq. 1-ci sYtri -Y, 2-ci sYtri -yY vY i. a., n-1-ci sYtri -Y vuraraq n-ci sYtrdYn çıxaq. Onda sıfır sYtir alarıq. Determinantın xassYsYinY YsasYn o dYyişmYz. Lakin, alınan determinantın sonuncu sYtri sıfra bYrabYr olduğundan o, vY eyni zamanda detA, sıfra bYrabYr olacaqdır, yYni matris mYxsusidir.

İndi isY fYrz edYk ki, . GöstYrYrk ki, onun sYtirlYri vY sütunları xYtti asılıdır. vvYlki paraqrafda verilmiş Teorem 5-Y YsasYn

bircins xYtti tYnliklYr sisteminin qeyri-trivial hYlli vardır. DemYli, hamısı sıfır olmayan elY skalyarları var ki,

yYni matrisin sütunları xYtti asılıdır. Teorem 4 isbat olundu.

Yuxarıda deyilYnlYri belY bir teoremdY ümumilYşdirmYk olar.

Teorem 4. Tutaq ki, hYr hansı n tYrtibli matrisdir. Onda aşağıdakı tYkliflYr eynigüclüdür:

1) A matrisinin sYtirlYri xYtti asılı deyil;

2) ;

3) A matrisini elementar matrislYrin hasili kimi göstYrmYk olar.

MühazirY 20.Laplas teoremi vY onun tYtbiqlYri

§2-dY determinantın sYtir vY ya sütun elementlYri üzrY ayrılış düsturu verilmişdir. Bu

düstur Laplas teoreminin xüsusi halıdır. Bu teoremin ifadYsini vermYk üçün cYbri tamamlayıcı anlayışının ümumilYşmYsinY ehtiyac vardır. Tutaq ki, n tYrtibli determinantı verilmişdir. Bu determinantda hYr hansı k ( ) sayda sYtir vY hYmin sayda da sütun qeyd edYk. SYtirlYrin nömrYlYri , sütunların nömrYlYri isY olsun.

TYrif. k tYrtibli minorunun yerlYşdiyi sYtir vY sütunları atdıqdan sonra qalan n-k tYrtibli minorun YdYdi ilY hasilinY bu minorun cYbri tamamlayıcısı deyilir.

TYrifdYn görünür ki, k=1 olduqda bir tYrtibli minorlar matrisin elementlYri ilY, onların cYbri tamamlayıcıları isY adi cYbri tyamamlayıcılarla üst- üstY düşür.

Teorem 1. Matrisin determinantı onun ixtiyari k sayda seçilmiş sYtirlYrindY yerlYşYn bütün mümkün k tYrtibli minorları ilY onların cYbri tamamlayıcılarının hasillYri cYminY bYrabYrdir.

İsbatı. vvYlcY fYrz edYk ki, minor 1-ci, 2-ci,..., k-cı sYtirlYr üzYrindY yerlYşmişdir. BelY minorların sayı -ya bYrabYrdir. Determinantın ifadYsindYki cYmi bütün belY minorlar üzrY cYmlYrY parçalayaq:

. (1)

Göründüyü kimi determinantın açılışına daxil olan hYr bir hasil iki vuruqdan ibarYtdir. Bunlardan biri qeyd olunmuş sYtirlYrdY yerlYşYn minorlarda, qalanları isY “tamamlayıcı” minorlarda yerlYşYn elementlYrdYn tYşkil olunmuşdur. vvYlcY qeyd olunmuş sYtirlYrdY yerYşYn minorlardan sol yuxarı küncdY olanı götürYk. Onun üçün . Bu şYrt daxilindY YvYzlYmYsinin işarYsi iki YvYzlYmYnin işarYlYrinin hasilinY bYrabYrdir:

= .

vY

,

çünki, . vY YvYzlYmYlYri, YslindY, bir –birindın asılı olmadan vY qruplarından istYnilYn qiymYtlYri ala bilYrlYr. DemYli, (1) cYminin sol yuxarı küncdY yerlYşYn minora uyğun olan hissYsi

(2)

ifadYsinY bYrabYrdir.

Tutaq ki, k tYrtibli minor başqa sütunlarda yerlYşmişdir. HYr bir minora daxil olan sütunların nömrYlYrinin, yYni YvYzlYmYsinin ikinci sYtrindY yerlYşYn elementlYrin, bir-birinY nYzYrYn nizamını pozmadan YvYzlYmYsinin ikinci sYtrindY ardıcıl transpozisiyalar yerinY yetirYrYk, sütunların yerini elY dYyişYk ki, nömrYli sütun r-ci yeri tutsun. nömrYli sütunu 1-ci yerY gYtirmYk ücün sayda ardıcıl yerdYyişmY yerinY yetirmYk lazımdır. Analoji olaraq, nömrYli sütunu -ci yerY gYtirmYk ücün sayda ardıcıl yerdYyişmY yerinY yetirmYk lazımdır. GöstYrilYn transpozisiyalara uyğun olan YvYzlYmlYri kimi işarY edYk. MYsYlYn, birinci vY ikinci elementlYrin yerini dYyişYn YvYzlYmY belY olacaqdır:

.

Onda, alarıq:

.

Yuxarıda olduğu kimi, bu halda, baxılan k tYribli minora uyğun olan (2) cYmi aşağıdakı kimi olar:

, (3)

çünki transpozisiyaların işarYsi –1-Y bYrabYrdir. BelYliklY,

.

vYzlYmYlYr üzrY birinci cYm nömrYli sütunlarda yerYşYn minora, uyğun işarY ilY götürülmüş ikinci cYm isY bu minorun cYbri tamamlayıcısın bYrabYrdir. BelYliklY, YgYr nömrYli sYtirlYrdY vY nömrYli sütunlrda yerlYşmiş minoru , onun cYbri tamamlayıcısını isY kimi işarY etsYk alarıq:

. (4)

BelYliklY, teorem ilk k sYtirlYrdY yerlYşYn minorlar üçün isbat olundu.

Ümumu halda sütunlarla olduğu kimi, sYtirlYrin ardıcıl yerdıyişmYsi ilY onları ilk k sYtrin yerinY gYtirY bilYrik. Bu zaman determinant YdYdinY vurular vY biz nYticYdY yenY dY (3) bYrabYrliyini alırıq vY artıq cYmin daxilindYki işarY vuruğu ilY müYyyYn olunacaqdır.

DemYli (4) bYrabYrliyi bu halda da doğrudur. Teorem 1 isbat olundu.

Misal. Aşağıdakı dörd tYrtibli determinantı Laplas teoreminin kömYyi ilY hesablayaq.

.

Laplas teoremini tYtbiq etmYk üçün 1-ci vY 2-ci sYtitlYri qeyd edYk. Bu sYtirdY altı 2 tYrtibli minor yerlYşir:

, , , , , .

Uyğun cYbri tamamlayıcıları hesablayaq:

, , , , , .

BelYliklY, .

Laplas teoreminin kömyi ilY hasilin determinantı haqda teoremi daha bir yolla isbat etmYk olar.

Teorem 2. n tYrtibli matrislYrin hasilinin determinantı onların determinantlarının hasilinY bYrabYrdir.

İsbatı. Aşağıdakı tYrtibli determinanta baxaq:

.

Göründüyü kimi, determinantın matrisi hYr biri n tYrtibli matris olan dörd blokdan ibarYtdir. Bu matrisin açıq şYkli belYdir:

.

Determinantı iki müxtYlif üsulla hesablayaq. vvYlcY onu Laplas teoreminin kömYyi ilY hesablayaq. 1-ci, 2-ci,..., n-ci sYtirlYri qeyd edYk. Bu sYtirlYrdY yerlYşYn n tYrtibli minorların hYr birinY, yuxarı sol küncdY yerYşYn minor istisna olmaqla, heç olmasa bir sıfır sütun daxildir. Buna görY dY bütün belY minorlar sıfra bYrabYrdir. Sol yuxarı küncdY yerlYşYn minor isY -ya, onun cYbri tamalayıclsı isY -yY bYrabYrdir. Laplas teoreminY YsasYn, yaza bilYrik:

.

Eyni determinantı başqa üsulla hesablamaq üçün onun üzYrindY elementar çevirmYlYr yerinY yetirYk. vvYlcY determinantın n+1-ci sYtrini -Y vuraraq birinci sYtrY, -yY vuraraq 2-ci sYtrY vY i. a., -vuraraq n-ci sYtrY YlavY etsYk, A matrsinin yerlYşdiyi blokda birinci sütun sıfra çevrilYr. Analoji olaraq, n+2-ci sYtrin komYyi ilY ikinci, üçüncü, vY i. a., sonuncu sütunu sıfra çevirmYk olar. Bu çevirmYlYr nYticYsindY sağ yuxarı küncdYki blokda matrisi alınar. elementi n+1,...,2n nömrYli sYtirlYri, uyğun olaraq, ,..., elementlYrinY vuraraq, i-ci sYtrY YlavY etmYklY alınır, yYni

.

BelYliklY biz aşağıdakı determinantı alırıq:

.

YenY dY Laplas teoremini tYtbiq edYk vY yenY dY n sYtir olaraq 1,...,n nömrYli sYtirlYri götürYk. İndi isY sağ yuxarı küncdY yerlYşYn minordan başqa qalan minorlar sıfra bYrabYrdir. DemYli,

.

Alınmış bYrabYrliklYri tutuşdursaq teoremin hökmünü alarıq: .

MühazirY 21. Bazis minor. Matrisin ranqı

Minor anlayışını ixtiyari matris üçün ümumilYşdirmYk olar. Tutaq ki, ixtiyari

ölçülü matrisdir. Bu matrisdY hYr hansı k sayda sYtir qeyd edYk. Onların nömrYlYrini ilY işarY edYk. Eyni sayda sütun qeyd edYk vY nömrYlYrini ilY işarY edYk.

TYrif 1. k tYrtibli matrisinin determinantına verilYn matrisin k tYrtibli minoru deyilir vY kimi işarY olunur.

YYni verilmiş matrisin k tYrtibli minoru dedikdY yuxarıda qeyd olunan sYtrlYrlY sütunların

kYsişmYsindY yerlYşYn elementlYrin YmYlY gYtirdiyi determinant başa düşülür. MYsYlYn,

matrisindY 1-ci vY 3-cü sYtirlYrlY, 2-ci vY 4-cü sütunların kYsişmYsindYki elementlYri qeyd etsYk aşağıdakı iki tYrtibli minor alınır:

.

TYrif 2. Matrisin sıfırdan fYrqli minorları içYrisindY Yn yüksYk tYrtibli minorların hYr biri bazis minor adlanır.

Aydındır ki, matrisinin bazis minorunun tYrtibi r olarsa, sYti ödYnilmYlidir. Yuxarıdakı matrisin bazis minoru olaraq, aşağıdakı 3 tYrtibli minor götürülY bilYr:

.

Bazis minorun Ysas xassYsi aşağıdakı teoremlY ifadY olunur.

Teorem 1. Matrisin hYr bir sYtri (sütunu) bazis minor yerlYşYn sYtirlYrin (sütunların) xYtti kombinasiyası kimi göstYrilY bilYr. Bazis minor yerlYşYn sYtirlYr isY xYtti asılı deyil.

İsbatı. Tutaq ki, hYr hansı ölçülü matrisi verilmişdir. MüYyyYnlik üçün fYrz edY bilYrik ki, onun bazis minoru sol yuxarı küncdY yerlYşmişdir. ks halda sYtir vY sütunların yerdYyişmYsi ilY bazis minoru sol yuxarı küncY gYtirmYk olar (bu yerdyışmYdY minorun ancaq işarYsi dYyişY bilYr ki, bu da teoremin hökmünY tYsir etmir). Aydındır ki, teoremi ancaq sYtirlYr üçün isbat etmYk kifayYtdir.

gYr baxılan sYtir bazis minor yerlYşYn sYtirlYrdYn olarsa, teoremin hökmü doğrudur. Tutaq ki, bazis minorun tYrtibi r-dir vY nömrYli sYtri qeyd olunmuşdur. GöstYrYk ki, elY skalyarları var ki,

.

Bazis minoru M ilY işarY edYk. Bazis minoru haşiyYlYmYklY, yYni ona aşağıdan i nömrYli sYtrin, sağdan isY ixtiyari j nömrYli sütunun elementlYrini YlavY etmYklY tYrtibli minora çevirYk:

.

Bu minorun tYrtibi bazis minorun tYrtibindYn böyük olduğu üçün o, sıfra bYrabYrdir. Bu minoru sonuncu ( -ci) sütun elementlYri üzrY ayıraq:

. (1)

Asanlıqla görmYk olar ki,

.

DigYr minorlar bu minordan sonuncu sütunu vY uyğun bir sYtri atmaqla alınır. Başqa sözlY, determinantının ifadYsinY daxil olan cYbri tamamlayıcılar j-dan asılı deyil vY ancaq sYtrin i nömrYsindYn asılıdır. (1) bYrabYrliyindYn alırıq:

;

burada işarY olunmuşdur. BelYliklY, i-ci sYtrin hYr bir komponenti bazis minor

yerlYşYn sYtirlYrin uyğun komponentlYrinin Ymsalları olan funksiyasıdır. DemYli,

bYrabYrliyi doğrudur.

İndi göstYrYk ki, bazis minor yerlYşYn sYtirlYr xYtti asılı deyil. Ümumiliyi pozmadan fYrz etmYk olar ki, bazis minor ilk r sYtirdY yerlYşmişdir. GöstYrYk ki, vektorlar sistemi xYtti asılı deyildır. ksini fYrz edYk: tutaq ki, hamısı sıfır olmayan elY skalyarları var ki,

.

Onda bu bYrabYrliyi koordinatlar üçün dY yazmaq olar:

.

DemYli, bazis minorun sYtirlYri xYtti aslıdır. Bu isY onun sıfırdan fYrqli olması şYrtinY ziddir. Alınan ziddiyyYt göstYrir ki, bazis minor yerlYşYn sYtirlYr sistemi xYtti asılı deyil. Teorem 1 isbat olundu.

TYrif 3. Matrisin basis minorunun tYrtibinY matrisin minorlar üzrY ranqı deyilir. Matrisin xYtti asılı olmayan sYtirlYrinin (sütunlarının) maksimal sayına matrisin sYtirlYr (sütunlar) üzrY ranqı deyilir.