Mühaziry riyazi mYntiqin elementlYri

MühazirY 13. vYzlYmYlYr qrupu

İnduksiya aksiomu. Riyazi induksiya metodu

Natural YdYd riyaziyyatın ilkin anlayışlarından biridr. Çox qYdim dövrlYrdY yaranmış bu anlayış insanların saymaq tYlYbatı ilY YlaqYdar meydana gYlmişdir. Natural YdYdlYr nYzYriyyYsinin qurulmasında induksiya aksiomu müstYsna YhYmiyyYtY malikdir. Bu aksiom aşağıdakı şYkildY söylYnilir:

Tutaq ki, natural YdYdlYr çoxluğunun hYr hansı alt çoxluğu iki şYrti ödYyir:

1)

2) .

Onda .

BelYliklY 1-dYn başlayaraq, hYr bir YdYdi bir vahid artırmaqla biz bütün natural YdYdlYr sırasını ala bilYrik. Bu aksiom natural YdYdlYrlY bağlı bir çox hökmlYrin isbatı zamanı geniş istifadY olunur. FYrz edYk ki, bütün natural YdYdlYr çoxluğunda hYr hansı predikatı verilmişdir.

Teorem. gYr predikatı üçün:

1) ;

2)

mülahizYlYri doğrudursa, onda eyniliklY doğru predikatdır.

İsbatı. M ilY predikatının doğruluq qiymYtlYri çoxluğunu işarY edYk. Teoremin 1-ci şYrtinY YsasYn . İxtiyari natural YdYdi götürYk vY fYrz edYk ki, tYklifi doğrudur. 2-ci şYrtY YsasYn, implikasiyası doğrudur. Onda implikasiyanın doğruluq cYdvYlinY YsasYn tYklifinin doğruluğu alınır. DemYli, . İnduksiya aksiomuna YsasYn, bu halda olacaqdır. Bu isY predikatının eyniliklY doğru predikat olduğunu göstYrir. Teorem isbat olundu.

Misal. Riyazi induksiya metodu ilY isbat edYk ki, ixtiyari natural n YdYdi üçün

(2)

bYrabYrliyi doğrudur.

HYlli. (2) bYrabYrliyini predikatı kimi qYbul edYk.

1) tYklifinin doğruluğunu yoxlayaq: - tYklif doğrudur.

2) implikasiyasını ancaq doğru olduqda yoxlamaq lazımdır (çünki, yalan olduqda implikasiya doğrudur). BelYliklY, ikinci addımda fYrz edirik ki, doğrudur (induktiv fYrziyyY). İsbat etmYliyik ki, bu fYrziyyYdYn tYklifinin doğruluğu alınır. tYklifinin doğru olması

bYrabYrliyinin dogru olması demYkdir. Bu şYrt daxilindY tYklifinY baxaq.

.

BelYliklY, tYklifi dY doğudur. TeoremY YsasYn (2) bYrabYrliyi eyniliklY doğru predikatdır.

YerdYyişmY. İnversiya. Transpozisiya haqda teorem

1-dYn n-Y qYdYr natural YdYdlYrin hYr hansı ardıcılıqla düzülüşü yerdYyişmY adlanır. MYsYlYn, 1, 3, 6, 4, 2, 5 ardıcıllığı yerdYyişmYdir. HYr bir yerdYyişmYdY natural YdYdlYr tYkrarsız düzülür. n sadY düzülüş natural YdYdlYrin tYbii ardıcıllıqla düzülüşüdür. BelY düzülüş onunla xarakterizY olunur ki, burada kiçik YdYd böyükdYn solda yerlYşmişdir.

DeyilYnlYrdYn aydın olur ki, hYr bir yerdYyişmY nizamlı çoxluğunun hYr hansı inikası ilY müYyyYn olunur. Doğrudan da, YgYr bu inikasın qiymYtlYr çoxluğunda nizamı kimi müYyyYn etsYk yerdYyişmY alarıq. gYr daha yığcam işarYlYmY üçün qYbul etsYk yerdYyişmYni belY yaza bilYrik: . Aydındır ki, bütün mümkün yerdYyişmYmYlYrin sayı hasilinY bYrabYrdir.

YerdYyişmY üçün vacib olan inversiya anlayışını verYk. Tutaq ki, şYrtini ödYyYn cütü verilmişdir. gYr şYrti ödYnilYrsY, onda deyilir ki, cütü inversiya tYşkil edir. MYsYlYn, 6 elementdYn düzYlmiş yuxarıdakı yerdYyişmYdY beş inversiya vardır vY bunlar cütlYri ilY meydana gYlmişdir. Göründüyü kimi, YgYr cütü inversiya tYşkil edirsY, onda vY fYrqlYri müxtYlif işarYlidir. BelYliklY, yerdYyişmYdYki inversiyaların sayı üçün aşağıdakı düsturu alırıq:

, (1)

burada cYmlYmY sayda bütün mümkün cütlYri üzrY aparılır. gYr cütü inversiya tYşkil etmirsY, onda mötYrizYdYki cYm sıfra bYrabYrdir, Yks halda isY mötYrizYdYki ifadY 2-yY bYrabYrdir vY hasilin qiymYti isY 1-Y bYrabYrdir. MYsYlYn, yuxarıdakı misalda . Buna görY dY, bu yerdYyişmYdYki inversiyaların sayı yuxarıdakı düstura YsasYn belY tapılır:

;

birinci mötYrizYdYki cYm cütlYrinY, ikinci mötYrizYdYki cYm cütlYrinY vY s. uyğundur. YerdYyişmYdY inversiyaların sayı cüt YdYd olarsa, belY inversiya cüt, tYk olduqda isY tYk yerdYyişmY adlanır.

(1) düsturundan inversiyaların sayını hesablamaq üçün aşağıdakı Ylverişli üsul alınır. YerdYyişmYdYn YvvYlcY 1-i ataraq, bütün ondan YvvYl gYlYn YdYdlYrin sayı yazılır. Bu (1) cYmindY cütlYrinY uyğundur. Daha sonra, 2-nin üzYrindYn xYtt çYkilYrYk, ondan YvvYl yerdYyişmYdY qalan YdYdlYrin sayı hesablanaraq, birinci YdYdY YlavY olunur vY s., bu proses n-1 atılanadYk davam etdirilir. İnvrsiyaların sayı nYticYdY alınan cYmY bYrabYrdir. MYsYlYn, 2,3,1,4 yerdYyişmYsindYki inversiyaların sayını tapaq. vvYlcY 1-i ataq: ; 1-dYn YvvYl iki YdYd vardır. Daha sonra 2-ni atırıq: ; ondan YvvYl heç bir YdYd yoxdur. BelYliklY, 2+0 cYmi alınır. Üçüncü addımda 3-ü atırıq: . BelYliklY, inversiyaların sayı üçün s=2+0+0=2 alırıq.

YerdYişmYdY iki YdYdin yerinin dYyişdirilmYsi transpozisiya adlanır. Transpozisiyadan sonra yeni yerdYyişmY alınır. MYsYlYn yuxarıdakı misalda 1vY 5 YdYdlYrinin yerini dYyişsYk 5, 3, 6, 4, 2, 1 yerdYyişmYsi alınar. Asanlıqla görmYk olar ki, bu yerdYyişmYdYki inversiyaların sayı s=5+4+1+2+0=12 olar. Göründüyü kimi inversiyaların sayı transpozisiyadan YvvYl tYk, sonra isY cüt oldu. Bunun hYmişY belY olduğu aşağıdakı teoremdYn aydın olur.

Teorem 1. sayda bütün n elementli yerdYyişmYlYri, belY yerdYyişmYlYrin hYr hansı birindYn başlayaraq, elY ardıcıllıqla düzmYk olar ki, ikincidYn başlayaraq hYr bir yerdYyişmY özündYn YvvYlki yerdYyişmYdYn bir transpozisiya ilY alınsın.

İsbatı. Teoremi riyazi induksiya metodu ilY isbat edYk. n=2 olduqda teorem doğruur. BelY ki, YgYr biz 1,2 yerdYyişmYsindYn başlasaq, ikinci yerdYyişmY 2,1 olar. 2,1 yerdYyişmYsindYn başladıqda isY, ikinci yerdYyişmY 1,2 olacaqdır.

İndi fYrz edYk ki, teorem n-1 elementli yerdYyişmYlYr üçün doğrudur. GöstYrYk ki, buradan teoremin n elementli yerdYyişmYlYr üçün doğruluğu alınır. İxtiyari n elmentli yerdYyişmY götürYk: . elementini nYzYrdYn atsaq, qalan elementlYr n-1 elementli yerdYyişmY YmYlY gYtirir. İnduktiv fYrziyyYyY YsasYn yerdYyişmYsindYn başlayaraq bütün n-1 elementli yerdYyişmYlYri elY düzmYk olar ki, ikincidYn başlayaraq hYr bir yerdYyişmY özündYn YvvYlkindYn bir transpozisiya ilY alınır. Bütün bu yerdYyişmYlYrdY 1-ci yerdY elementini yazmaqla biz n elementli yerdYyişmYlYrin elY düzülüşünü alırıq ki, ikincidYn başlayaraq hYr bir yerdYyişmY özündYn YvvYlki yerdYyişmYdYn bir transpozisiya ilY alınır. Sonuncu yerdYyişmYdY bir transpozisiya apararaq ilY -nin yerini dYyişYk. Alınan yerdYyişmY YvvYlkilYrin hYr birindYn fYrqlidir. Yuxarıda aparılan mühakimYlYri alınan yerdYyişmY üçün yerinY yetirYk. Sonuncuda bir transpozisiya ilY vY elementlYrinin yerini dYyişYk vY bu qayda ilY prosesi davam etdirYk. BelYliklY biz bütün n! sayda yerdYyişmYlYri teoremin tYlYbinY uyğun düzmüş oluruq. Teorem isbat olundu.

Teorem 2. HYr bir transpozisiya yerdYyişmYnin cütlüyünü dYyişir.

İsbatı. vvYlcY fYrz edYk ki, transpozisiya iki qonşu vY elementlYrinin yerini dYyişir. Bu halda bu elementlYrin hYr birinin digYr elementlYrlY YmYlY gYtirdiyi inversiyaların sayı dYyişmir. Buna görY dY (2) düsturunda ancaq

ifadYsi dYyişir vY bu ifadY

ilY YvYz olunur. DemYli, YgYr cütü inversiya tYşkil edirsY, birinci ifadY 2-yY, ikinci isY 0-a bYrabYrdir. DemYli, inversiyaların sayı 1 vahid azalmış olur. gYr cütü inversiya tYşkil etmirsY, birinci ifadY 0-a, ikinci isY 2-yY bYrabYrdir. DemYli, inversiyaların sayı 1 vahid artmış olur. HYr iki halda yerdYyişmY öz cütlüyünü dYyişir.

İndi fYrz edYk ki, transpozisiya vY elementlYrinin yerini dYyişir. NYticYdY alınan yerdYyişmYni ardıcıl elementlYrin yerini dYyişmYklY dY almaq olar. Bunun üçün elementi ilY -in yerini dYyişirik; sonra alınan yerdYyişmYdY elementi ilY -nin yerini dYyişirik vY s. BelıliklY, k sayda yrdYyişmYdYn sonra elementi ilY -nın yerinY gYlmiş olur: . İndi elementini Yks istiqamYtdY yYrdYyişmY vasitYsi ilY -dYn YvvYlY gYtirmYk lazımdır. Bunun üçün k-1 sayda yerdYyişmY tYlYb olunur. NYticYdY, 2k-1 sayda yerdYrişmY ilY biz vY elementlYrinin yerini dYyişdik. Yuxarıda baxılan hala YsasYn, bu zaman YvvYlki yerdYyişmYnin cütlüyü 2k-1 dYfY dYyişmiş olur. Lakin 2k-1 tYk YdYd olduğu üçün nYticYdY verilYn yerdYyişmYnin cütlüyü dYyişmiş olur. Teorem 2 isbat olundu.

vYzlYmY vY onun işarYsi. vYzlYmYlYr qrupu.

HYr bir yerdYyişmY müYyyYn bir biyektiv inikası ilY birqiymYtli tYyin olunur. Bu inikası çox vaxt aşağıdakı cYdvYl şYklindY yazırlar:

.

Bu şYkildY yazılış YvYzlYmY adlanır. vYzlYmYnin ümumi tYrifi belYdir.

TYrif 1. n elementli çoxluğun özünY biyektiv inikasına n dYrYcYli YvYzlYmY deyilir.

Aydindır ki, n elementli çoxluq ilY {1,2,…,n} çoxluğu arasında biyektiv inikas vardır. Buna görY dY hYr bir n elementli çoxluğu kimi yazmaq olar. BelYliklY, hYr bir biyektiv inikas elementin özünün vY obazının nömrYsi ilY tamam müYyyYn olunur. MYsYlYn, hYr hansı inikas vasitYsi ilY elementi elementinY çevrilirsY, onda bunu kimi yazmaqla göstYrmYk olar. gYr birinci elementlYri tYbii ardıcıllıqla (artan qaydada) düzsYk, onda inikas onların obrazları ilY, yYni obrazlardan düzYlYn yerdYyişmY ilY birqiymYtli tYyin olunur. DemYli, hYr bir inikası (1) YvYzlYmYsi şYklindY yazmaq olar:

,

vY burada işarY olunmuşdur. Göründüyü kimi YvYzlYmYni göstYrYn cYdvYlin 1-ci sYtri dYyişmir vY YvYzlYmY tamamilY ikinci sYtirdYki yerdYyişmY ilY müYyyYn olunur. Qeyd etmYk lazımdır ki, YvYzlYmYdY ixtiyari YdYdin yerini öz obrazı ilY bir sütunda dYyişmYk olar. MYsYlYn, YvYzlYmYsini belY dY yazmaq olar: .

n elementYn ibarYt yerdYyişmYlYrin sayı olduğu üçün n dYrYcYli YvYzlYmYlYrin dY sayı olacaqdır. Bütün n dYrYcYli YvYzlYmYlYr çoxluğu kimi işarY olunur. çoxluğunda vurma binar YmYlini inikasların kompozisiyası kimi tYyin olunur:

.

Misal olaraq vY YvYzlYmYlYrinin hasilini tapaq. Bunun üçün 1, 2, 3, 4 YdYdlYrindYn hYr birinY ardıcıl olaraq ikinci vY birinci YvYzlYmYlYri “tYtbiq” etmYk lazımdır.

.

vYzlYmYlYrin hasili kommutativ deyil.

Teorem 1. cYbri qrupdur.

İsbatı. İnikasların kompoziiysı assosiativlik xassYsinY malikdir. Buna görY dY çoxluğunda vahid elementin vY hYr bir element ilY simmetrik elementin varlığını göstYrmYk qalır. Vahid element olaraq eynilik inikasını götürmYk olar. Bu YvYzlYmYnin yazılışı belYdir:

.

Aydındır ki, YvYzlYmYsi üçün tYrs YvYzlYmY elY YvYzlYmYsi olmalıdır ki, istYnilYn elementi üçün elementini yenidYn i-yY çevirsin. Bunun üçün YvYzlYmYsinin sYtirlYrinin yerini dYyişmYk kifayYtdir:

.

DemYli, cYbri qrupdur. Teorem 1 isbat olundu.

Misal. YvYzlYmYsinin tYrsini tapaq. Bunun üçün sYtirlYrin yerini dYyişYk .

Yuxarıda qeyd etdiyimiz kimi, YvYzlYmY özünün ikinci sYtri ilY tamamilY müYyyYn olunur. gYr YvYzlYmYnin 2-ci sYtrindYki yerdYyişmY cüt olarsa, YvYzlYmY özü dY cüt YvYzlYmY adlanır. ks halda isY o, tYk YvYzlYmY adlanır.

TYrif 2. Tutaq ki, s YdYdi YvYzlYmYsinin ikinci sYtrindYki inversiyaların sayıdır.

YdYdinY bu YvYzlYmYnin işarYsi deyilir.

MYsYlYn, YvYzlYmYsinin ikinci sYtrindYki yerdYyişmY 1,2,3,4 yerdYyişmYsindYn bir transpozisiya ilY alındığı üçün olacaqdır. BelY YvYzlYmY transpozisiya adlanır. Transpozisiyanın ümumi şYkli belYdir:

.

Yuxarıda biz gördük ki,

YdYdi cütü inversiya tYşkil etdikdY -1-Y, Yks halda isY +1-Y bYrabYr qiymYt alır. Buna görY dY,

.

vYzlYmYnin işarYsinin Ysas xassYsi aşağıdakı teoremlY ifadY olunur.

Teorem 2. vYzlYmYlYrin hasilinin işarYsi onların işarYlYrinin hasilinY bYrabYrdir.

İsbatı. İşarYnin yuxarıda yazılan ifadYsinY YsasYn yaza bilYrik:

Teorem 2 isbat olundu.

Misal. YvYzlYmYsinin işarYsini tYyin edYk.

2,9,5,7,4,1,8,6,3 yerdYyişmYsindYki inversiyaların sayını tapaq. 1-in üzYrindYn xYtt çYkYrYk, ondan YvvYlki natural YdYdlYri sayaq. Onların sayı 5-dir. İndi isY 2-nin üzYrindYn xYtt çYkYrYk, ondan YvvYlki natural YdYdlYri sayaq: 0. Daha sonra, 3-ün üzYrindYn xYtt çYkYrYk, ondan YvvYlki xYtlYnmYmiş natural YdYdlYri sayaq. Bu say 6-dır. Bu qayda ilY davam edırYk, alınan sayları toplayaq:

5+0+6+3+1+3+1+1=20.

BelYliklY, YvYzlYmY cüt YvYzlYmYdir vY onun işarYsi 1-Y bYrabYrdir.

MühazirY 14. dYdi xYtti fYzalar. XYtti asılılıq

düz hasilindY n elementli kortejlYr üzYrindY aşağıdakı kimi toplama YmYli müYyyYn etmYk olar. Tutaq ki, vY düz hasilindYn götürülmüş ixtiyari iki kortejdir. Bu kortejlYrin cYmi

kimi tYyin olunan kortejY deyilir. Asanlıqla görmYk olar ki, kortejlYrin cYmi aşağıdakı xassYlYrY malikdir:

1) -kommutativlik;

2) -assosiativlik;

3) işarY etsYk, onda ;

4) ixtiyari korteji üçün , burada .

Bu xassYlYr göstYrir ki, cYbri kommutativ qrupdur.

İxtiyari hYqiqi YdYdi götürYk vY inikasını aşağıdakı kimi tYyin edYk:

.

inikası qrupunda yeni unar YmYl müYyyYn edir. Bu YmYl YdYdinY (skalyara) vurma YmYli adlanır. qrupunun elementlYri isY vektorlar adlanır. MYsYlYn, olsun. olarsa, onda

.

çox vaxt sadYcY kimi işarY olunur. Skalyara vurma YmYlinin asanlıqla yoxlanılan aşağıdakı xassYlYri vardır:

1) ixtiyari skalyarları üçün ;

2) ixtiyari skalyarları üçün ;

3) ;

4) ixtiyari vektoru üçün .

Misal. n=2 olarsa, onda çoxluğu alınır. MYlumdur ki, bu çoxluq müstYvi üzYrindY yerlYşYn vektorlar çoxluğu ilY biyektiv uyğunluqdadır. Bu uyğunluq qrupu ilY tYpYsi koordinat başlanğıcında olan istiqamYtlYnmiş parçalar çoxluğunun vektorların toplanması (paraleloqram qaydası ilY) YmYlinY nYzYrYn tYşkil etdiyi additiv qrup arasında izomorfizm müYyyYn edir. Skalyara vurma YmYli dY bu izomorfizm zamanı saxlanılır.

Yuxarıdakı konstruksiyanı istYnilYn meydan üzYrindY dY yerinY yetirmYk olar. Tutaq ki, hYr hansı meydanı verilmişdir. n natural YdYd olduqda Dekart qüvvYtindY (yYni hasilindY) yuxarıda olduğu kimi vektor anlayışı, onlar üzYrindY YmYllYr – toplama vY skalyara vurma YmYllYri tYyin oluna bilYr. BelYliklY, biz cYbrini alırıq. Yuxarıda olduğu kimi, işarY olunur. TYyin olunan bu YmYllYrin yuxarıda ğöstYrilYn xassYlYri vardır. HYmin xassYlYri daxil etdiyimiz işarYlYmY ilY aşağıakı kimi yazmaq olar:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) ;

6) ;

7)

8) .

1)-8) xassYlYrini (aksiomlar) ödYyYn cYbri n ölçülü YdYdi (hesabi) xYtti fYza adlanır.

Tutaq ki, n ölçülü YdYdi xYtti fYzasında ixtiyari vektorlar sistemi verilmişdir, isY ixtiyari skalyarlardır.

TYrif 1. cYminY vektorlar sisteminin Ymsalları olan xYtti kombinasiyası deyilir.

Aydındır ki, YgYr bütün skalyarlarının hamısı 0-a bYrabYr olarsa, onda bu xYtti kombinasiya sıfra bYrabYrdir. Lakin ola bilYr ki, Ymsallar içYrisindY sıfırdan fYrqli olanlar vardır, lakin xYtti kombinasiya yenY dY sıfra bYrabYrdir. MYsYlYn, vY vektorları üçün .

TYrif 2. Hamısı sıfır olmayan müYyyYn skalyarlar sistemi üçün

(*)

münasibYti ödYnilYrsY, vektorlar sistemi xYtti asılı sistem adlanır. gYr (*) münasibY-

tinin doğruluğundan bYrabYrliyi alınarsa, onda sistemY xYtti asılı olmayan sistem deyilir.

TYrifdYn aydındır ki, verilYn sistemin xYtti asılı olmadığını isbat etmYk üçün

implikasiyasının doğruluğunu göstYrmYk lazımdır.

Misal. vektorlar sistemi xYtti asılı deyil. Doğrudan da, müYyyYn YdYdlYr sistemi üçün olarsa, onda . Buradan alırıq. DemYli, bu sistem xYtti deyil.

XYtti asılı olan vY olmayan sistemlYrin bYzi sadY xassYlYri vardır.

XassY 1. gYr vektorlar sisteminY 0 vektor daxildirsY, onda bu sistem xYtti asılıdır.

İsbatı. Tutaq ki, . Onda, olmaqla Ymsallar içYrisindY sıfırdan fYrqli olanı vardır. Demıli sistem xYtti asılıdır.

XassY 2. gYr vektorlar sistemi xYtti asılı deyilsY, onda onun ixtiyari alt sistemi dY xYtti asılı deyil.

İsbatı. Tutaq ki, verilYn sistemin hYr hansı alt sistemi xYtti asılıdır. YYni hamısı sıfır olmayan elY skaılyarları var ki,

.

Bu halda olduqda qYbul edYrYk, yenY dY alırıq vY Ymsalların hamısı sıfır deyil. Lakin bu, sistemin xYtti asılı olmaması şYrti ilY ziddiyyYt YmYlY gYtitirir. Alınmış ziddiyyYt göstYrir ki, alt sistem xYtti asılı deyil.

Kontrapozisiya qanunundan istifadY etmYklY asanlıqla aşağıdakı xassYni isbat etmYk olar.

XassY 3. XYtti asılı sistemin istYnilYn genişlYnmYsi xYtti asılıdır.

XassY 4. VerilYn sistemin xYtti asılı olması üçün bu sistemin hYr hansı vektorunun digYr vektorların xYtti kombinasiyası kimi göstYrilY bilmYsi zYruri vY kafidir.

İsbatı. Tutaq ki, vektorlar sisteminin hYr hansı bir vektoru mYsYlYn, vektoru qalan vektorların xYtti kombinasiyası kimi göstYrilY bilYr:

.

Onda, . DemYli, sistem xYtti asılıdır.

TYrsinY, YgYr elY skalyarları tapmaq mümkün olsa ki,

olmaqla, Ymsallardan heç olmasa biri, mYsYlYn, sıfırdan fYrqlidir, onda alarıq:

.

işarY etsYk sonuncu bYrabYrlikdYn alarıq: , yYni vektorlardan biri qalan vektorların xYtti kombinasiyası şYklindY göstYrilir. XassY 4 isbat olundu.

TYrif 3. vektorlar sisteminin bütün mümkün

xYtti kombinasiyalar çoxluğuna verilYn sistemin xYtti örtüyü deyilir.

Aydındır ki, YgYr olarsa, onda vektorunu vektorlar sisteminin xYtti kombinasiyası şYklindY göstYrmYk olar. DemYli, bu halda vektorlar sistemi xYtti asılıdır.

TYrif. İki vY vektorlar sistemi o zaman ekvivalent vektorlar sistemi adlanır ki, bu sistemlYrdYn birinin sıfırdan fYrqli hYr bir vektorunu digYr sistemin vektorlarının xYtti kombinasiyası şYklindY göstYrmYk mümkün olsun.

Teorem 1. Ekvivalent sistemlYrin xYtti örtüklYri üst-üstY düşür.

İsbatı. Tutaq ki, . Onda müYyyYn skalyarları tapmaq mümkündür ki,

.

ŞYrtY YsasYn

.

DemYli,

.

BelYliklY, . Eyni qayda ilY Yks münasibYt göstYrilY bilYr. Teorem 1 isbat olundu.

MühazirY 15. MatrislYr vY onlar üzYrindY YmYllYr

CYbrin mühüm anlayışlarından biri matris anlayışıdır. Biz YdYdi xYtti fYzada vektor anlayışına düz hasilin elementlYri kimi tYrif verdik. YdYdi xYtti fYzasında m sayda vektorlar sistemi götürYrYk, onları sütun şYklindY düzYk:

.

SYtirlYrdYki mötYrizYlYri ataraq aşağıdakı cYdvYli alırıq:

. (1)

TYrif 1. meydanının elementlYrindYn düzYlmiş (1) şYklindY cYdvYlY ölçülü matris deyilir.

MatrislYr böyük latın hYrflYri ilY işarY olunur. Matrisin elementlYri dedikdY (1) cYdvYlinY daxil olan skalyarlar nYzYrdY tutulur. Bu skalyarlar ikiqat indekslYrlY işarYlYnmişdir. İndekslYrdYn birincisi elementin yerlYşdiyi sYtrin, ikincisi isY sütunun nömrYsini göstYrir. MYsYlYn,

3×2 ölçülü matrisdir. Bu martisin sYtirlYri fYzasının vektorlarıdır.

MatrislYr üçün (1) ifadYsi çox hYcmli olduğu üçün bu yazılışı sadYlYşdirmYk lazım gYlir. Buna görY dY matris üçün bYzYn kimi işarYlYmYdYn istifadY olunur. gYr matrisin ölçüsünü dY qeyd etmYk tYlYb olunarsa, onda vY ya kimi yazılışlardan istifadY olunur.

A matrisinin sYtirlYrini kimi işarY edYcYyik. Bunlar fYzasının vektorlarıdır. Bu matrisin sütunlarını isY kimi işarY edYcYyik. Onlara K^m fYzasının vektorları kimi baxmaq olar. ElementlYri K meydanının elementlYri olan bütün ölçülü matrislYr çoxluğu kimi işarY olunur. çoxluğunda toplama vY YdYdY vurma YmYllYri tYyin edYk.

HYr hansı iki matrislYri götürYk vY onları qısaca olaraq vY

kimi işarY edYk. Bu matrislYrin cYmi olaraq eyni ölçülü elY matrisi götürYk ki, münasibYti ödYnilsin. Göründüyü kimi matrislYrin cYmini taparkYn, onların eyni sYtir vY sütunlarda yerlYşYn elementlYri toplanır. DemYli, hYr bir sYtir vY sütun üçün dY

vY bYrabYrliklYri ödYnilir.

Misallar.

.

.

Asanlıqla yYqin etmYk olar ki, matrislYrin toplama YmYli kommutativlik, assosiativlik xassYlYrinY malikdir vY bütün elementlYri sıfra bYrabYr olan matris neytral element rolunu oynayır. HYr bir matrisin Yksi vardır vY verilYn matrisin elementlYrinin Yksini götürmYklY alınır. BelYliklY, cYbri kommutativ qrupdur (additiv vY ya Abel qrupudur).

Göründüyü kimi matrislYrin toplanması YmYli uyğun komponentlYri cYmlYmYklY alınır. KomponentlYrin skalyara vurulması vasitYsi ilY matrisin skalayara hasili YmYli dY (unar YmYl) müYyyYn oluna bilYr. Tutaq ki, elementi vY matrisi verilmişdir. YdYdinin matrisinY hasili matrisinY deyilir.

Misallar.

;

.

MatrislYrin toplanması vY YdYdY vurulması YmYllYrinin aşağıdakı xassYlYrini (A, B, C matrislYri, isY skalyarları göstYrir) yazmaq olar:

1)A+B=B+A;

2)(A+B)+C=A+(B+C);

3)A+0=0+A=A;

4)A+(-A)=0;

5) ;

6) ;

7) ;

8) .

Bu xassYlYr göstYrir ki, cYbri matrisin skalyara vurma YmYli ilY birlikdY xYtti fYza tYşkil edir. Qeyd etmYk lazımdır ki, skalyara vurma YmYli dedikdY, YdYdi xYtti fYzalarda olduğu kimi,

inikaslar ailYsi başa düşülür. BelYliklY, yuxarıda göstYrilYn xYtti fYza (onun ümumi tYrifi daha sonra verilYcYkdir) cYbr şYklindY belY yazılır: .

MatrislYr üzYrindY vurma YmYlinin daxil edilmYsi bir qYdYr fYrqlidir. Bu onunla YlaqYdardır ki, matrislYrin vurulması komponentlYr üzrY deyil, tamam başqa Ysaslarla vY tamam başqa parametrlYrY görY müYyyYn olunur. Bu mYsYlYlYr xYtti fYzalar vY xYtti operatorlar mövzularında daha müfYssYl şYrh olunacaqdır. Burada yalnız qeyd edYk ki, hYr bir matris birqiymYtli olaraq xYtti fYzanın inikasını müYyyYn edir. İnikasların hasili (kompozisiyası) ilY müYyyYn olunan matris isY tYbii olaraq matrislYrin hasili kimi qYbul olunur.

Tutaq ki, eyni bir K meydanı üzYrindY (yYni elementlYri K meydanından olmaqla) vY matrislYri verilmişdir. Bu matrislYrin hasili yalnız olduqda, yYni birinci matrisin sütunlarının sayı ikinci matrisin sYtirlYrinin sayına bYrabYr olduqda tYyin olunur. BelY ki, mYsYlYn,

,

matrislYri verilYrsY, onda AB hasili tYyin olunmuşdur, lakin BA hasili tYyin olunmamışdır.

BelYliklY, tutaq ki, vY matrislYri verilmişdir. Bu matrislYrin hasili tYyin olunmuşdur vY ölçülü matris müYyyYn edir. Buna görY dY matrislYrin hasili

inikasını tYyin edir vY demYli, cYbri YmYl deyil (hYr üç çoxluq müxtYlifdir). Lakin olduqda isY o, cYbri YmYldir. Buna baxmayaraq, vurma YmYli cYbri YmYl kimi qYbul olunur. Matrisin sYtirlYrinin sayı sütunlarının sayına bYrabYr olarsa belY matris kvadrat matris adlanır sYtirlYrin vY sütunların ortaq sayı isY matrisin tYrtibi adlanır. MYsYlYn, iki tYrtibli kvadrat matrisdir.

İndi isY vurma YmYlinin dYqiq tYrifini verYk.

TYrif. vY matrislYrinin hasili elY matrisinY deyilir ki, onun elmentlYri üçün

bYrabYrliyi doğru olsun.

TYrifdYn göründüyü kimi hasil matrisin elementini tapmaq üçün birinci matrisin i-ci sYtir elementlYrini ikinci matrisin j-cu sütununun uyğun elementlYrinY vuraraq toplamaq lazımdır. MYsYlYn,

.

MatrislYrin hasilinin Ysas xassYlYrini göstYrYk.

XassY 1. MatrislYrin hasili kommutativlik xassYsinY malik deyil.

Doğrudan da matrislYrin hasilindY vuruqların yerini dYyişsYk ola biYr ki, onların hasilinin varlıq şYrti pozulsun. MYsYlYn, yuxarıdakı misalda vuruqların yerini dYyişsYk alınan matrislYrdYn birincinin sütunlarının sayı 3, ikinci matrisin sYtirlYrinin sayı isY 2 olar. DemYli, onların hasili tYyin olunmamışdır.

Aşağıdakı misal göstYrir ki, yerdYyişmYdYn sonra hasilin varlıq şYrti ödYnsY dY o, YvvYlki hasildYn fYrqlYnY bilYr:

.

Vuruqların yerini dYyişsYk alarıq:

.

Göründüyü kimi hasillYr fYrqlidir.

XassY 2. MatriaslYrin vurulması assosiativlik xassYsinY malikdir, yYni

.

İsbatı. Tutaq ki, vY sadYlik üçün fYrz edYk ki, bu matrislYr eyni sayda sYtir vY sütunlara malikdirlYr. Sol tYrYfin elementi üçün yaza bilYrik:

.

Conuncu cYm sağ tYrYfin elementini verir. DemYli, vY buna görY dY xassY doğrudur.

XassY 3. Vurma YmYli toplamaya nYzYrYn paylama qanununa tabedir, yYni:

; .

XassYnin isbatı sağ vY sol tYrYflYrin uyğun elementlYrinin hesablanması yolu ilY yerinY yetirilY bilYr. Qısaca, yuxarıda olduğu kimi kvadrat matrislYr üçün bu isbatı belY vermYk olar: ixtiyari

.

XassY 4. İxtiyari A vY B matrislYri vY skalyarı üçün

.

İndi isY matrislYr çoxluğu ilY bağlı bYzi cYbrlYri nYzYrdYn keçirYk. Yuxarıda deyildiyi kimi cYbri kommutativ qrupdur. Skalyara vurma YmYli ilY birlikdY cYbri, K –da tYyin olunmuş toplama vY sonsuz sayda skalyara vurma YmYllYrinY nYzYrYn xYtti fYza tYşkil edir.

MatrislYr üzYrindY YmYl kimi matrislYrin transponirY olunması YmYli dY daxil edilir. slindY isY o, inikası kimi müYyyYn olunur. matrisinin transponirY olunmuş matrisi dedikdY elY matrisi başa düşülür ki, onun i, nömrYli sütunu A matrisinin i nömrYli sYtrini sütun vektor kimi yazmaqla alınır. MYsYlYn,

matrisi üçün transponirY olunmuş matris

matrisi olacaqdır.

TransponirY etmY YmYlinin Ysas xassYlYri aşağıdakılardır:

1)

2) ;

3) .

DemYli, hasili transponirY etmYk üçün vuruqları transponirY edYrYk onların yerini dYyişmYk lazımdır.

olduqda cYbri kvadrat matrislYrin additiv qrupuna çevrililr. Bu qrup kimi işarY olunur. Bu qrup Ysasında alınan cYbrindY vurma YmYli tYyin olunmuşdur. XassY 2-yY YsasYn, cYbri halqadır. XassY 2-yY YsasYn hYmin halqa assosiativ halqadır. GöstYrYk ki, bu halqa vahidi olan halqadır. vvYlcY xüsusi halına baxaq. Bu halda

matrisi vahid element olacaqdır. Doğrudanda,

.

DeyilYnlYr n- in digYr qiymYtlYri üçün dY doğrudur. Bu halda vahid element olaraq

vahid matrisi götürülY bilYr.

XassY 4 doğru olduğundan cYbri K meydanı üzYrindY xYtti fYza olmaqla, assosiativ vY vahidi olan binar YmYl ilY xYtti cYbrY çevrilir. O, n tYrtibli matrislYr cYbri adlanır. MatrislYrlY bağlı digYr cYbri strukturlarla daha sonra tanış olacağıq.