Mühaziry riyazi mYntiqin elementlYri



Yüklə 1.87 Mb.
səhifə9/11
tarix14.01.2017
ölçüsü1.87 Mb.
1   2   3   4   5   6   7   8   9   10   11

MühazirY 16. XYtti tYnliklYr sistemi

XYtti tYnliklYr sistemi mövzusunun elementlYri hYlY orta mYktYbdY tYdris olunmağa başlayır. n sadY xYtti tYnliklYr sistemi

şYklindY olan sistemdir. Burada verilmiş Ymsallar, x vY y isY dYyişYnlYrdir. Aydındır ki, hansı tYnliyi birinci vY hansını ikinci yazmağın YhYmiyyYti yoxdur. Ona görY dY qYbul edY bilYrik. Orta mYktYbdY belY sistemin hYlli üçün tYklif olunan üsullardan biri cYbri toplama üsulu adlanan üsuldur. Bu üsulun mahiyyYti aşağıdakı kimidir. Birinci tYnliyin hYr iki tYrYfini YdYdinY vuraq:

alınan tYnliyi ikinci tYnliklY toplayıb, hYr tYrYfi yenidYn -Y vuraq. gYr olarsa, alarıq:

vY ya

.

Alınan qiymYti birinci tYnlikdY yerinY yazmaqla x-i dY tapmaq olar. Bu üsul yuxarıdakı sistemi tamamilY araşdırmağa imkan verir.



Bir sıra praktik mYsYlYlYrlY YlaqYdar daha mürYkkYb xYtti tYnliklYr sistemi meydana çıxır. BelY sistemlYrdY dYyişYnlYrin vY tYnliklYrin sayı müxtYlif vY böyük YdYdlYr ola bilYr.

Ümumi şYkildY n dYyişYni olan m sayda tYnlikdYn ibarYt olan xYtti tYnliklYr sistemi aşağıdakı şYkildY yazılır:

burada dYyişYnlYrdir. YdYdlYri ikiqat indekslYnmiş hYqiqi YdYdlYrdir (yaxud hYr hansı başqa meydana daxildir). Birinci indeks tYnliyin nömrYsini ikinci indeks isY dYyişYnin nömrYsini göstYrir. Birinci indeks qiymYtlYrini, ikinci indeks isY qiymYtlYrini ala bilYr. MYsYlYn, simvolu ikinci tYnlikdY 3-cü dYyişYnin, yYni –ün Ymsalını göstYrir. BYrabYrliklYrin sağ tYrYflYrindYki YdYdlYri hYqiqi YdYdlYr olub, şYrbYst hYdlYr adlanır. gYr hYr hansı dYyişYnin bütün tYnliklYrdY Ymsalı sıfır olarsa, onda belY dYyişYnin xYtti tYnliklYr sisteminY daxil olmadığını da qYbul etmYk olar. Buna görY dY (1) sisteminY baxarkYn biz hesab edY bilYrik ki, hYr bir dYyişYnin heç olmasa bir Ymsalı sıfırdan fYrqlidir. MYsYlYn, dörd mYchulu olan 3 xYtti tYnlikdYn ibarYt aşağıdakı sistemi

biz, x2 dYyişYnini atıb, dYyişYnlYri yenidYn nömrYlYmYklY aşağıdakı şYkildY yaza bilYrik:

(1) ümumi xYtti tYnliklYr sisteminY qayıdaq.

TYrif 1. vektoru (1) sisteminin hYr bir tYnliyini doğru bYrabYrliyY çevirirsY, onda belY vektora (1) sisteminin hYlli deyilir (bu kortej bir hYll kimi qYbul olunur).

MYsYlYn, yoxlamaq olar ki, (-2,1,0) üçlüyü aşağıdakı sistemin hYllidir.

Sistemin bütün hYllYri onun hYllYr çoxluğunu YmYlY gYtirir.

TYrif 2. gYr (1) xYtti tYnliklYr sistemindY bütün sYrbYst hYdlYr sıfra bYrabYr olarsa, onda belY sistem bircins xYtti tYnliklYr sistemi adlanır. Bircins olmayan sistemY qeyri-bircins sistem deyilir. Qeyri-bircins (1) sistemindY sYrbYst hYdlYrin sıfırla YvYz olunması nYticYsindY alınan sistemY (1)-Y uyğun bircins xYtti tYnliklYr sistemi deyilir.

TYrif 3. HYllYr çoxluğu boş olmayan sistem uyuşan sistem (vY ya birgY sistem), hYlli olmayan sistem isY uyuşmayan sistem adlanır.

XYtti tYnliklYr sistemini öyrYnYrkYn iki Ysas mYsYlY qarşıya çıxır. NY zaman hökm etmYk olar ki, (1) sistemi uyuşandır vY YgYr (1) uyuşan sistem olarsa onun hYllYri necY tapıla bilYr?

(1) sistemi ilY birlikdY başqa xYtti tYnliklYr sistemi götürYk vY tutaq ki, onun da m sayda tYnliyi vY n sayda mYchulu vardır:

(3)


TYrif 4. gYr (1) vY (3) sistemlYrinin hYllYr çoxluğu eyni olarsa, onlara eynigüclü sistemlYr deyilir vY belY yazılır (1)(3). gYr (1) sisteminin hYr bir hYlli (3) sisteminin dY hYlli olarsa, onda (3) sistemi (1) sisteminin nYticYsi adlanır.

Qeyd edYk ki, bütün xYtti tYnliklYr sistemlYri çoxluğunda (yYni m mYchullu vY n dYyişYnli sistemlYr çoxluğnda) eynigüclülük münasibYti ekvivalentlik münasibYtidir: ixtiyari (a), (b), (c) sistemlYri üçün (a)(a); YgYr (a)(b) olarsa, onda (b)(a); YgYr (a)(b) vY (b)c) isY, onda (a)(c).

gYr (3) tYnliyindY i-ci yerdY (1) tYnliyinin k-cı (ki), (3) tYnliyindY k-cı yerdY isY (1) tYnliyinin i-ci tYnliyi dayanmaqla, qalan tYnliklYr isY dYyişmYz qalarsa, onda deyYcYyik ki, (3) tYnliyi (1)-dYn I növ elementar çevirmY ilY, yYni i vY k nömrYli tYnliklYrin yerdYyişmYsi ilY alınmışdır.

FYrz edYk ki, (3) sisteminin bütün tYnliklYri, i –cidYn başqa, (1) sistemindY olduğu kimidir vY i – ci tYnlik isY

(4)

şYklindY olarsa, onda deyYcYyik ki, (3) sistemi (1) sistemindYn II növ elementar çevirmY ilY alınmışdır. Aydındır ki, II növ elementar çevirmY zamanı (1) sisteminin k –cı tYnliyini dYyişmirik, lakin onun hYr hansı c YdYdinY vurulmasından alınan tYnliyi sistemin i-ci tYnliyinY hYdbYhYd YlavY edirik.



Teorem 1. gYr (3) sistemi (1) sistemindYn sonlu sayda I vY II növ çevirmYlYrin ardıcıl yerinY yetirilmYsi ilY alınmışsa, onda bu sistemlYr ekvivalentdir.

İsbatı. Eynigüclülük münasibYtinin tranzitivliyindYn alınır ki, (3) sisteminin (1)-dYn ancaq bir I vY ya bir II növ elementar çevirmY ilY alındıqda (1) (3) olduğunu göstYrsYk, teorem isbat olunmuş olar.

Tutaq ki, (3) sistemi (1)-dYn ancaq iki tYnliyin yerdYyişmYsi ilY alınmışdır. Onda bu

sistemlYrdYki tYnliklYr özlYri dYyişmYmişdir. Ona görY dY onların hYllYr çoxluğu eynidir, yYni (1)(3).

İndi fYrz edYk ki, (3) sistemi (1)-dYn II növ elementar çevirmY ilY alınmışdır. Onda (3) sisteminin i-ci tYnlikdYn başqa qalan tYnliklYri (1)-dY olduğu kimi, i-ci tYnliyi isY (4) şYklindYdir. Bu halda hYlli (3) sisteminin bütün tYnliklYrini (i cidYn başqa) doğru bYrabYrliyY çevirir. Eyni zamanda

İkinci bYrabYrliyin hYr iki tYrYfini c YdYdinY vursaq bYrabYrlik pozulmaz. Alınan bYrabYrliyi hYdbYhYd birinciyY YlavY etsYk (4) bYrabYrliyini alarıq.

Tutaq ki, (3) sisteminin hYr hansı hYllidir. Onda bu kortej (1) sisteminin i-cidYn başqa bütün tYnliklYrini doğru bYrabYrliyY çevirYcYkdir. O cümlYdYn, (3) sisteminin aşağıdakı iki tYnliyi ödYnilir:

Birinci bYrabYrliyin hYr iki tYrYfini (-c)-yY vuraq vY ikinci tYnliyY YlavY edYk. Onda (1)-in i-ci tYnliyinin dY ödYnildiyini görYrik. DemYli, (1)(3). Teoremin isbatı başa çatdı.

Qeyd edYk ki, ixtiyari iki uyuşmayan sistem eynigüclüdür.



TYrif 5. gYr (1) sisteminin yeganY hYlli varsa, ona müYyyYn sistem deyilir. ks halda uyuşan sistem qeyri-müYyyYn sistem adlanır.

MYsYlYn,


sistemi müYyyYn sistemdir, çünki onun yeganY hYlli vardır: Lakin yuxarıda baxdı-ğımız (2) sistemi qeyri-müYyyYn sistemdir, çünki onun daha bir hYlli dY var:

(1) xYtti tYnliklYr sisteminin araşdırılması üçün müxtYlif üsullar mövcuddur. BelY üsullardan Yn sadYsi dYyişYnlYrin ardıcıl yox edilmYsi üsulu vY ya Qauss üsulu adlanır. Bu üsulun tarixi riyaziyyatın inkişafının çox qYdim dövrlYrinY gedib çıxır. BelY ki, müYllifi mYlum olmayan «Riyazi incYsYnYt haqda doqquz kitab» adlı YsYrdY qYdim çin riyaziyyatçıları xYtti tYnliklYr sistemini mYhz bu üsulla hYll ediblYr. sYrin b.e.Y. 206- b.e. 220-ci illYrindY yazıldığı güman edilir vY bu göstYrir ki, bu üsulun tarixi daha qYdimdir.

(1) sisteminY qayıdaq vY fYrz edYk ki, -in Ymsalı sıfır deyil. ks halda biz I növ çevirmY vasitYsi ilY elY sistem ala bilYrik ki, -in Ymsalı sıfır olmasın. Bu mümkündür, çünki yuxarıda qeyd olunduğu kimi, - in Ymsallarından heç olmasa biri sıfır deyil.

Aşağıdakı kimi m-1 sayda II növ elementar çevirmY yerinY yetirYk. Birincici tYnliyin hYr iki tYrYfini -Y vuraraq, ikinci tYnliyY YlavY edYk. Sonra isY birincici tYnliyin hYr iki tYrYfini -Y vuraraq, üçüncü tYnliyY YlavY edYk vY i.a. m-1-ci addımda birincici tYnliyin hYr iki tYrYfini -Y vuraraq, m-ci tYnliyY YlavY edYk. NYticYdY aşağıdakı sistemi alarıq:

(4)

Burada birinci tYnlikdY . Ola bilYr ki, Ymsallarından hamısı olduqda sıfra bYrabYr olsun. Onda birinci tYnliyY toxunmadan qalanlarında bütün belY Ymsalları dYyişYnlYrlY birlikdY atmaq olar. NYticYdY aşağıdakı şYkildY sistem alınır:



Birinci tYnliyY toxunmadan yuxarıda yerinY yetirilmiş YmYliyyatlrı sistemin qalan tYnliklYrinY tYtbiq etsYk onda bir neçY addımdan sonra sonuncu sistemdY r sayda tYnlikdYn başqa qalanlarının Ymsalları sıfra çevrilYcYkdir. gYr sonuncu sütunda elementar çevirmYlYri davam etdirsYk, onda sistemin -cidYn sonra (YgYr belY tYnliklYr varsa) bütün tYnliklYri 0=0 şYklinY düşYcYkdir. Bu halda (5) sisteminin sağ tYrYfindY yeganY sıfırdan fYrqli hYdd ola bilYr. BelYliklY, biz aşağıdakı sistemi alacağıq:

(5)


Asanlıqla görmYk olar ki, vY . Teorem 1-Y YsasYn (5) sistemi (1) sistemi ilY eynigüclüdür. (5) sisteminY nYzYr salsaq, görYrik ki, tYnliklYrin nömrYsi artdıqca dYyişYnlYrin sayı azalır. HYr bir tYnliyin ilk Ymsalı sıfırdan fYrqlidir vY sonrakı tYnliklYrdY uyğun dYyişYnin Ymsalları sıfra bYrabYrdir. (5) sistemi pillYli şYkilli sistem adlanır. gYr r=n olarsa, (5) üçbucaq şYkilli, olduqda isY trapesşYkilli sistem adlanır.

Qeyd edYk ki, tYnliklYr üzYrindY yerinY yetirilYn elementar çevirmYlYr zamanı dYyişYnlYr heç bir rol oynamır vY YmYliyyatlar ancaq Ymsallar üzYrindY aparılır. Buna görY dY çevirmYlYri sadYlYşdirmYk üçün sistem üzYrindY aparılan çevirmYlYri Ymsallardan vY sYrbYst hYdlYrdYn düzYlYn düzbucaqlı cYdvYllYr – matrislYr üzYrindY yerinY yetirmYk olar. AdYtYn, (1) sistemi ilY bağlı aşağıdakı iki matris daxil edilir:

.

Bu matrislYr, uyğun olaraq, (1) sisteminin (Ymsallar) matrisi vY genişlYnmiş matrisi adlanır. Qeyd edYk ki, ikinci matrisdY şaquli xYtt ancaq şYrti olaraq sonuncu sütunu Ymsallardan düzYlYn sütunlardan ayırmaq üçün işlYdilYn kömYkçi vasitYdir; belY ki, birinci matris , ikinci matris isY ölçülü matrislYrdir.



PillYli şYkilli sistemin matrisi pillYli matris adlanır. Qeyd edYk ki, sYtrin ilk sıfırdan fYrqli elementi onun aparıcı elementi adlanır. PillYli matris aşağıdakı iki şYrtlY müYyyYn olunur:

1. Matrisin tamamilY sıfır olan sYtirlYri digYr sYtirlYrdYn aşağıda yerlYşmişdir.

2. İkincidYn başlayaraq, hYr bir sYtrin aparıcı elementi özündYn YvvYlki sYtrin aparıcı elementindYn sağda yerlYşmişdir. MYsYlYn, aşağıdakı matris pillYli matrisdir:

.

Teorem 2. HYr bir xYtti tYnliklYr sistemi müYyyYn pillYli şYkilli xYtti tYnliklYr sistemi ilY eynigüclüdür.

Bu teoremin isbatı yuxarıda aparılan çevirmYlYrdYn alınır. (5) sistemi yeganY deyil vY onun forması elementar çevirmYlYrdYn asılıdır, lakin sistemin ranqı adlanan r YdYdi isY dYyişmir.

(5) sistemindY aparıcı Ymsallara uyğun olan dYyişYnlYrinY baş dYyişYnlYr, qalanlarına isY sYrbYst dYyişYnlYr deyilir. Baş dYyişYnlYrin sayı -Y bYrabYrdir.



Teorem 3. (1) XYtti tYnliklYr sistemini (5) pillYli şYkilli sistemY gYtirdikdYn sonra:

1) olarsa (1) sistemi uyuşandır;

2) olduqda olması sistemin uyuşan olması üçün zYruri vY kafidir;

3) Sistem uyuşandırsa, onda r=n olması sistemin müYyyYn sistem olması (hYllin yeganYliyi) üçün zYruri vY kafidir.

İsbatı.1) Tutaq ki, . Bu halda verilYn sistem ilY eynigüclü olan (5) sisteminin bütün tYnliklYrindY sYrbYst dYyişYnlYr daxil olan bütün hYdlYri sağ tYrYfY keçirsYk (5) sistemi aşağıdakı şYklY düşYr:

(6)


Sağ tYrYfdY sYrbYst dYyişYnlYrY ixtiyari qiymYtlYr verYk. Onda sonuncu sistemi belY yazmaq olar:

0lduğundan sonuncu tYnlikdYn dYyişYni birqiymYtli olaraq tapılır. Bu qiymYti sonuncudan YvvYlki tYnlikdY nYzYrY alaq. Onda, yenY dY Ymsalı sıfırdan fYrqli xYtti tYnlik alarıq vY onun da yeganY hYlli vardır. Bu qayda ilY aşağıdan yuxarı hYrYkYt etmYklY bütün baş dYyişYnlYri birqiymYtli olaraq taparıq. DemYli, (1) sistemi müYyyYndir.Teoremin birinci hökmü isbat olundu.

2) olduqda (5) sistemindY olduqda sistemin uyğun tYnliyindY ziddiyyYt alınığı üçün onun hYlli yoxdur. olduqda isY -cidYn başlayaraq bütün tYnliklYr şYklinY düşür vY bu tYnliklYri nYzYrdYn atsaq halına uyğun sistem alarıq. 1) bYndY YsasYn sistem uyuşandır. BelYlilklY, teoremin ikinci hökmü dY isbat olundu.

3) Tutaq ki, sistem uyuşandır. Teoremin 1) vY 2) bYndlYrinY YsasYn hesab etmYk olar ki, sistem (6) şYklinY gYtirilmişdir. Bu halda olarsa, sağ tYrYfdY sYrbYst hYdlYr yoxdur. Onda alınan sistemdY dYyişYnlYr aşağıdan yuxarıya hYrYkYt etmYklY birqiymYtli olaraq tapılır. YYni bu halda sistem müYyyYndir.

olduqda ancaq halı mümkündür. Bu halda yuxarıda deyildiyi kimi sYrbYst dYyişYnlYrin ixtiyarı qiymYtlYrindY sistemin hYlli vardır, yYni o, qeyri-müYyyYndir. Teorem isbat olundu.

Yuxarıda alınmış nYticYlYri bircins xYtti tYnliklYr sisteminY tYtbiq edYk.

Teorem 4. olarsa bircins xYtti tYnliklYr sistemi qeyri-müYyyYndir.

İsbatı. (1) sistemini elementar çevirmYlYrlY (5) sisteminY gYtirYk. ŞYrtY görY . DYyişYnlYrdYn birinY, mYsYlYn -Y ixtiyari hYqiqi qiymYt verY bilYrik. Xüsusi halda olsun. BelYliklY, alınan hYll (0,0,…,0)-dan fYrqlidir. Lakin bircins sistem hYmişY birgYdir (uyuşandır) vY (0,0,…,0) onun hYllidir. DemYli, sistemin Yn azı iki hYlli vardır. Teorem 4 isbat olundu.

Qeyd edYk ki, tYnliklYr üYrindY yerinY yetirilYn elementar çevirmYlYri genişlYnmiş matrisin sYtirlYri üzYrindY yerinY yetirsYk, (5) sisteminY uyğun olan aşağıdakı pillYli matrisi

alarıq:


.

Elementar matrislYr

Sistemin matrisi üzYrindY elementar çevirmYlYri elementar matrislYrY vurma ilY YvYz etmYk olar.

I növ elementar matris i nömrYli sYtirlY j nömrYli sYtirlYrin yerini dYyişYn çevirmYsinY uyğun olan aşağıdakı matrisY deyilir:

.

Bu matris vahid matrisdY i vY j nömrYli sYtirlYrin yerini dYyişmYklY alınır. MYsYlYn, çevirmYsinY uyğun 5 tYrtibli matris belYdir.



.

II növ elementar matris i nömrYli sYtri c –yY vuraraq, j nömrYli sYtrY YlavY etmYkdYn ibarYt olan çevirmYsinY uyğun olan aşağıdakı matrisY deyilir:

.

Bu matris vahid matrisdY i-ci sYtri c-yY vuraraq j nömrYli sYtirY YlavY etmYklY alınır. MYsYlYn, 4-cü sYtri 3-Y vuraraq 2-ci sYtrY YlavY etmYkdYn ibarYt olan çevirmYsinY uyğun 5 tYrtibli matris belYdir.



.

NYhayYt, III növ elementar matris i nömrYli sYtri sıfırdan fYrqli c YdYdinY vurmaqdan ibarYt olan çevirmYsinY uyğun olan aşağıdakı matrisY deyilir:

.

Bu matris vahid matrisdY i-ci sYtri c-yY vurmaqla alınır. MYsYlYn, 4-cü sYtri 3-Y vurmaqdan ibarYt olan çevirmYsinY uyğun 5 tYrtibli matris belYdir.



.

Qeyd edYk ki, hYr hancı ölçülü matrisin sYtirlYri üzYrindY elementar çevirmYlYr aparmaq üçün onu soldan uyğun m tYrtibli elementar matrisY vurmaq lazımdır.

Misal. Aşağıda verilYn ölçülü matrisin 4-cü sYtrini 3- vurmaqla 2-ci sYtrY YlavY edYk:

.

Eyni matrisi soldan elementar matrisinY vurmaqla da almaq olar:



.

  1. sistemini aşağıdakı kimi matrisli formada yazmaq olar:

,

burada


,

uyğun olaraq dYyişYnlYrdYn vY sYrbYst hYdlYrdYn ibarYt sütun vektorlardır vY ya uyğun olaraq, vY ölçülü matrislYrdir. XYtti tYnliklYrin matrisli yazılışından onun aşağıdakı vektor formada yazılışını da almaq olar:

,

burada A matrisinin sütunlarıdır.



Misal. Aşağıdakı xYtti tYnliklYr sistemini hYll edYk:

Sitemin genişlYnmiş matrisini yazaq:

.

GenişlYnmiş matrisi elementar çevirmYlYr vasitYsi ilY pillYli şYklY gYtirYk. Bunu üçün YvvYlcY birinci vY üçüncü sYtirlYrin yerini dYyişYk vY sonra isY ikinci növ elementar çevirmYlYr yerinY yetirYk:



;

Yuxarıda göstYrilYn birinci ox işarYsi birinci sYtrin 3-Y vurularaq, ikinci sYtrY, ikinci ox isY birinci sYtrin (-2)-yY vurularaq, 3-cü sYtrY YlavY olunduğunu göstYrir. HYmin YmYliyyatlardan sonra aşağıdakı matris alınır:

.

Alınmış matrisY aşağıdakı sistem uyğundur:



Sonuncu tYnlikdYn tapırıq: . Alınan ifadYni ikinci tYnlikdY nYzYrY alaraq, tapırıq: . NYhayYt birinci tYnlikdYn yaza bilYrik:

.

Burada sYrbYst dYyişYn olub, ixtiari hYqiqi qiymYtlYri ala bilYr. BelYliklY, biz verilYn sistemin bütün hYllYrini tapmış olduq. Yuxarıda tYtbiq olunan üsul, yYni sistemi pillYli şYklY gYtirYrYk, dYyişYnlYri ardıcıl olaraq tapmaq üsulu Qauss üsulu adlanır.


MühazirY 17. Determinantın tYrifi vY xassYlYri

tYrtibli hYr hansı

matrisi verilYrsY, bu matrisin hYr sYtir vY sütunundan ancaq bir element götürmYklY müxtYlif n elementli hasillYr düzYltmYk olar. kimi hasilin vuruqlarının matrisin müxtYlif sYtir vY sütunundan olması üçün ikinci indekclYrdYn düzYlYn yerdYyişmYlYrdY tYkrar elementlYr olmamamlıdır. Bu halda hYr bir hasil aşağıdakı kimi YvYzlYmY müYyyYn edir:

.


TYrsinY, hYr bür YvYzlYmYyY qarşı yuxarıda olduğu kimi müYyyYn bir hasil qarşı qoymaq olar. Bütün belY hasillYrin sayı dYrYcYli YvYzlYmYlYrin sayına, yYni -a bYrabYrdir. HYr bir hasili uyğun YvYzlYmYnin işarYsi ilY götürsYk aşağıdakı cYmi alarıq:

. (1)


TYrif. (1) cYminY A matrisinin determinantı deyilir vY simvollarından biri ilY işarY olunur.

Determinant üçün daha aşkar yazılış belYdir:

.

olduqda . qrupu bu halda iki YvYzlYmYdYn ibarYtdir: vY . Bunlardan birinci cüt, ikinci isY tYk YvYzlYmYdir. Birinci YvYzlYmYyY hasili, ikinciyY isY hasili uyğundur. DemYli,



.

olduqda

.

qrupunda 6 YvYzlYmY vardır:



, , , , , .

Birinci, dördüncü vY altıncı YvYzlYmYlYr cüt, ikinci, üçüncü vY beşinci YvYzlYmYlYr isY tYkdir. Buna görY dY,

.

MüsbYt hasillYrY uyğun elementlYrin determinantın açılışında düzülüş yeri qara dairYciklYrlY göstYrilmişdir.



.

MYnfi hasillYrY uyğun elementlYrin determinantın açılışında düzülüş yeri qara dairYciklYrlY aşağıda göstYrilmişdir.

.

Misal. GöstYrilYn sxemlY aşağıdakı determinantı hesablayaq:

.

Birinci sxemY uyğun hasillYr belYdir: . Bunlar müsbYt işarY ilY götürülür. İkinci sxemY uyğun olan hasillYri isY mYnfi işarY ilY götürülür. NYticYdY alırıq:



.

Determinantların yuxarıda olduğu kimi bilavasitY tYrifdYn istifadY etmYklY hesablanması determinantın tYrtibi artdıqca olduqca çYtinlYşir. MYsYlYn, olduqda, uyğun olaraq, 24, 120, 720 sayda hasillYri vY onların hYmin sayda YvYzlYmYlYrlY tYyin olunan işarYlYrini hesablamaq lazım gYlir ki, bu çox böyük hesablamalar tYlYb edir. Determinantların hesablanması vY digYr mühüm tYtbiqlYri üçün onların xassYlYri böyük rol oynayır.



XassY 1. Matrisi transponirY etdikdY onun determinantı dYyişmir.

İsbatı. TYrifY YsasYn

.

Matrisi transponirY etdikdY hYr bir hasilinY transponirY olunmuş matrisin elementlYrindYn düzYlYn hasili uyğun gYlir vY tYrsinY. DemYli, matrisin vY onun transponirY olunmuş matrisinin determinantı eyni hasillYrin cYbri cYmidir. hasilini kimi dY yazmaq olar. gYr olduğunu nYzYrY alsaq, onda yaza bilYrik:



.

işarY edYk. YvYzlYmYsi dY ilY birlikdY qrupundan bütün qiymYtlYri alır (çünki inikası qrupunun özünY izomorfizmidir). Buna görY dY,

.

XassY 1 isbat olundu.



Misal. Yuxarıdakı misalda verilYn determinantın transponirY olunmuş determinantını hesablayaq:

.

Bu xassY göstYrir ki, matrisin determinantının sYtirlYr üçün söylYnYn hYr bir xassYsi sütunlar üçün, sütunlar üçün isY söylYnYn xassYsi isY sYtirlYr üçün dY doğrudur.



XassY 2. Matrisin hYr hansı iki sYtrinin (sütunuun) yerini dYyişdikdY onun determinantı öz işarYsini dYyişir.

İsbatı. Yuxarıdakı qeydY YsasYn teoremi ancaq sYtirlYr üçün isbat etmYk kifayYtdir. Tutaq ki, A matrisinin determinantında iki vY sYtirlYrinin yeri dYyişilmişdir vY belYliklY, matrisi alınmışdır. TYrifY YsasYn yaza bilYrik:

.

Eyni ifadYni matrisi üçün dY yaza bilYrik. Lakin bu zaman elementinin yerinY vY elementinin yerinY isY elementi yazılacaqdır, çünki, vY sYtirlYrinin yeri dYyişilmişdir. gYr ilY



transpozisiyasını işarY etsYk, onda vY olacaqdır. BelYliklY, transpozisiyanın işarYsi -1-Y bYrabYr olduğu üçün alırıq:

. (1)


içarY edYk. inikası qrupunun izomorfizmidir. Buna görY dY hasili YvYzlYmYsi ilY birlikdY qrupundan bütün qiymYtlYri alır. DemYli, (1) cYmindY YvYzlYmYsi aparsaq toplananların ancaq yeri dYyişYr, cYm isY dYyişmYz. Bu sYbYbdYn

.

XassY 2 isbat olundu.



Misal. Doğrudan da

.

SYtirlYrin yerini dYyişYk:



.

XassY 3. Determinantın hYr hansı sYtrinin elementlYri sıfra bYrabYr olarsa, determinant özü sıfra bYrabYrdir.

İsbatı. gYr determinantın bir sYtri sıfırlardan ibarYtdirsY, onda determinantın açılışında hYr bir hasildY bu sYtirdYn element olduğu üçün bütün hasillYr sıfra bYrabYr olacaqdır. DemYli, determinant özü dY sıfra bYrabYrdir.

XassY 4. HYr hansı iki sYtri eyni olan determinant sıfra bYrabYrdir.

İsbatı. Tutaq ki, d determinantının iki sYtri eynidir. HYmin sYtirlYrin yerini dYyişYk. Onda determinant, bir tYrYfdYn dYyişmYz, çünki yerdYyişmYdYn o dYyişmYmişdir; digYr tYrYfdYn isY xassY 2-yY YsasYn onun işarYsi dYyişmYlidir. DemYli, vY buradan alırıq.

Misal. .

XassY 5. Determinantın hYr hansı sYtrini müYyyYn elementinY vurduqda determiniant hYmin elementY vurular.

İsbatı. Tutaq ki, A determinantının i-ci sYtri -yY vurulmuşdur. Onda yeni determinantın açılışında bütün hasillYr eyni bir vuruğuna malik olacaqdır ki, bu vuruğu mötYrizY xaricinY çıxarsaq, onda ifadYsini alarıq.

Misal. .



XassY 6. İki sYtri mütYnasib olan determinant sıfra bYrabYrdir.

İsbatı. gYr determinantın bir sYtri digYrindYn ortaq vuruqla fYrqlYnYrsY, onda bu vuruğu determinant işarYsi xaricinY çıxarmaqla iki sYtri eyni olan determinant alarıq ki, bu da sıfra bYrabYrdir.

XassY 7. Determinantın baş diaqonal elementlYrindYn aşağıda (yaxud yuxarıda) yerlYşYn bütün elementlYri sıfra bYrabYrdirsY, onda bu determinant diaqonal elementlYrinin hasilinY bYrabYrdir.

İsbatı. Determinantın tYrifinY görY

.

HYr bir YvYzlYmYnin ikinci sYtrindYki yerdYyişmYdY 1, 2, ..., n yerdYyişmYsindYn başqa qalanlarından hYr birindY elY var ki, . Doğrudan da, YgYr belY bir yoxdursa, onda hYr bir üçün . BelY ki, , ..., , çünki biyektiv inikasdır vY onun qiymYtlYri içYrisindY tYkrar olunan YdYdlYr yoxdur. Biz yuxarıda deyilYn yerdYyişmYni aldıq. Lakin olarsa, onda elementi baş diaqonaldan aşağıda yerlYşir vY buna görY dY . DemYli, determinantın açılışında ancaq hasilindYn başqa qalanları sıfra bYrabYrdir. Eyni qayda ilY baş diaqonaldan yuxarıda yerlYşYn elementlYr sıfır olan hala baxıla bilYr. XassY 7 isbat olundu.



Misal. .

XassY 8. gYr determinantın hYr hansı sYtri iki sYtrin cYmi kimi göstYrilYrsY, onda determinant iki determinantın cYmi kimi göstYrilY bilYr: bu determinantlardan hYr ikisinin qalan sYtirlYri verilYn determinantda olduğu kimi qalmaqla, birinci determinantda hYmin sYtir birinci toplananlardan, ikinci determinantda isY hYmin sYtir ikinci toplananlardan ibarYt olur.

XassYnin doğruluğu determinantın tYrifindYn vY vurmanın distributivlik xassYsindYn alınır.



Misal. .

XassY 9. Determinantın hYr hansı sYtrini müYyyYn c skalyarına vuraraq, başqa sYtrY YlavY etsYk determinantın qiymYti dYyişmYz.

Isbat. Tutaq ki, A determinantının i nömrYli sYtri c skalyarına vurularaq, j nömrYli sYtrY YlavY olunmuşdur. Onda yeni alınmış determinantının j- cu sYtri şYklindY olacaqdır. XassY 8-Y YsasYn bu halda determinant iki determinantın cYminY bYrabYr olacaqdır:

;

burada nöqtYlYrlY göstYrilYn sYtirlYr verilYn determinantda olduğu kimidir. NYticYdY alınan determinantlardan birincisi verilYn determinanta bYrabYrdir, ikinci determinantda isY i vY j nömrYli sYtirlYr eynidir, buna görY dY o, xassY 4-Y görY, sıfra bYrabYrdir. XassY 9 isbat olundu.



Misal. determinantına baxaq. Bu determinantın birinci sYtrini 2-yY vurub üçüncü sYtrY YlavY etmYklY aşağıdakı determinantı düzYldYk.

Yoxlamaq olar ki, . DemYk, hYr iki determinant xassYnin hökm etdiyi kimi eyni qiymYtY malikdir.



Dostları ilə paylaş:
1   2   3   4   5   6   7   8   9   10   11


Verilənlər bazası müəlliflik hüququ ilə müdafiə olunur ©muhaz.org 2017
rəhbərliyinə müraciət

    Ana səhifə