Mühaziry riyazi mYntiqin elementlYri

MühazirY 3. Binar münasibYtlYr. İnikaslar

1.Çoxluqların düz hasili. Tutaq ki, boş olmayan iki A vY B çoxluqları verilmişdir. vY elementlYri göturYk. gYr iki elementli çoxluğunu düzYltsYk, aydındır ki, olacaqdır. YYni bu çoxluqlardan götürülmüş elementlYrin hansı ardıcıllıqla yazılmasından asılı olmadan çoxluğu dYyişmir. İndi elementlYr cütünü elY düzYldYk ki, birinci element hYmişY birinci çoxluqdan, yYni A çoxluğundan, ikinci element isY B çoxluğundan götürülmüş olsun. BelY cüt nizamlı cüt adlanır vY kimi işarY olunur. DeyilYnlYrdYn aydındır ki, . İki vY () cütlYri o zaman bYrabYr hesab olunur ki, olsun: . a elementinY nizamlı cütün birinci elementi, b-yY isY onun ikinci elementi deyilir.

TYrif 1. Birinci elementi A çoxluğundan, ikinci elementi isY B çoxluğundan götürülmüş bütün mümkün nizamlı cütlYr çoxluğuna A vY B çoxluqlarının düz hasili deyilir vY belY işarY olunur:.

TYrifY YsasYn yaza bilYrik: .

Misal. vY çoxluqlarının düz hasilini yazaq.

.

Eyni qayda ilY,

.

Göründüyü kimi . DemYli, çoxluqların düz hasili kommutativlik xassYsinY malik deyil. Asanlıqla yYqin etmYk olar ki, düz hasil üçün assosiativlik xassYsi dY ödYnilmir:

.

Doğrudan da, col tYrYf kimi, birinci elementi A çoxluğuna daxil olan cütlYrdYn, sağ tYrYf isY kimi, birinci elementi hasilinY daxil olan cütlYrdYn ibarYtdir. DemYli, bu hasillYr hYqiqYtYn müxtYlifdirlYr. Lakin bu çoxluqlar arasında kimi qarşılıqlı birqiymYtli uyğunluq vardır.

Teorem 1. İxtiyri A, B, C çoxluqları üçün aşağıdakı münasibYtlYr ödYnilir:

a) ;

b) ;

c) ;

d) .

Teoremin isbatı oxucuya tYklif olunur.

Nizamlı cüt anlayışının ümumilYşmYsi n () elementli kortej anlayışıdır. Tutaq ki, çoxluqları verilmişdir. i -ci hYddi çoxluğundan olan şYklindY sonlu ardıcıllıq n elementli kortej adlanır. elementlYrinY kortejin elementlYri deyilir. İki kortejin bYrabYrlik şYrti aşağıdakı münasibYtlY müYyyYn edilir:

=.
TYrif 2. i -ci hYddi çoxluğundan olan bütün mümkün şYklindY n- elementli kortejlYr çoxluğuna çoxluqlarının düz hasili deyilir vY belY işarY olunur:. gYr olarsa, yazılışı da işlYdilir (çoxluğun Dekart qüvvYti).

1. MustYvi üzYrindY düzbucaqlı Dekart koordinat sistemindY hYr bir nöqtY iki elementli (x,y) korteji vasitYsi ilY göstYrilir. BelYliklY,müstYvinin nöqtYlYr çoxluğu ilY hasili arasında qarşılıqlı birqiymYtli uyğunluq vardır.

2. FYzada düzbucaqlı Dekart koordinat sistemindY hYr bir nöqtY üç elementli (x,y,z) korteji vasitYsi ilY göstYrilir. BelYliklY, fYzanın nöqtYlYri çoxluğu ilY hasili arasıda qarşılıqlı birqiymYtli uyğunluq vardır.

2. Binar münasibYtlYr. Binar münasibYt anlayışı cYbrdY mühüm rol oynayır. Bir sıra cYbri strukturlar vY onlarla bağlı olan anlayışlar binar münasibYt anlayışı ilY verilir. FYrz edYk ki, iki boş olmayan A vY B çoxluqları verilmişdir.

TYrif 3. düz hasilinin hYr bir alt çoxluğuna A vY B çoxluqlarında verilmiş binar münasibYt deyilir; olarsa deyilir ki, x vY y elementlYri münasibYtindYdir vY belY yazırlar: .

Xüsusi halda YgYr olarsa, onda deyilir ki, münasibYti A çoxluğunda verilmişdir.

Misal 1. R hYqiqi YdYdlYr çoxluğunda münasibYti binar münasibYtdir. Bu münasibYt düz hasilindY bütün şYrtini ödYyYn cütlYrindYn ibarYtdir.

Misal 2. bölünmY münasibYti natural YdYlYr çoxluğunda verilmiş binar münasibYtdir. Bu münasibYt düz hasilindY bütün şYrtini ödYyYn cütlYrdYn ibarYtdir. MYsYlYn, 18 3 olduğu üçün cütü bu münasibYtY daxildir: . Lakin, cütü bu münasibYtY daxil deyil, çünki, .

Tutaq ki,boş olmayan A vY B çoxluqlarında binar münasibYti verilmişdir.

TYrif 4. A çoxluğunun

şYklindY tYyin olunan alt çoxluğuna münasibYtinin tYyin oblastı deyilir; B çoxluğunun isY

şYklindY tYyin olunan alt çoxluğuna münasibYtinin qiymYtlYr oblastı deyilir.

TYrif 5. düz hasilindY

kimi tYyin olunan binar münasibYt münasibYtinin inversiyası (tYrsi) adlanır.

MYsYlYn, vY çoxluqlarında verilmiş

münasibYti üçün münasibYti inversiya olacaqdır.

TYrif 6. A vY B çoxluqlarında verilmiş münasibYti ilY B vY C çoxluqlarıda verilmiş münasibYtlYrinin kompozisiyası A vY C çoxluqlarında

kimi tYyin olunan yeni münasibYtY deyilir.

İxtiyari cütlYr çoxluğuna binar münasibYt kimi baxmaq olar. Bu zaman münasibYtY daxil olan cütlYrin birinci elementlYrindYn tYşkil oulunmuş çoxluq münasibYtin tYyin oblastı, ikinci elementlYrindYn tYşkil olunmuş çoxluq isY qiymYtlYr oblastı olacaqdır. MYsYlYn,

cütlYr çoxluğu binar münasibYtdir vY

, , .

vY çoxluqlarında verilmiş

münasibYti ilY, B vY çoxluqlarında verilmiş

münasibYtinin kompozisiyası aşağıdakı münasibYt olacaqdır:

.

Yuxarıda, tYkrar olunan cütlYrdYn biri saxlanaraq qalanları atılmışdır. Asanlıqla görmYk olar ki, kompozisiyası tYyin olunmamışdır (boş çoxluqdur). DemYli, kompozisiya kommutativlik xassYsinY malik deyil: .

Teorem 2. Binar münasibYtlYrin kompozisiyası assosiativdir, yYni ixtiyari üç binar münasibYtlYri üçün

.

İsbatı. TYrifY YsasYn göstYrmYk lazımdır ki, YgYr münasibYti doğrudursa, yYni olarsa, onda vY tYrsinY. Birinci implikasiyanı, yYni

olduğunu göstYrmYk kifayYtdir.

.

Teorem isbat olundu. Aşağıdakı teoremin isbatı oxucuya tYklif olunur.

Teorem 3. İxtiyari iki vY binar münasibYtlYri üçün

.

Binar münasibYt anlayışının ümumilYşmYsi n –ar münasibYt anlayışıdır. n –ar münasibYt dedikdY ixtiyarı n elementli kortejlYr çoxluğu başa düşülür. gYr bu kortejlYrin hamısının elementlYri eyni bir A çoxluğundan götürülYrsY, onda deyilir ki, n –ar münasibYt A çoxluğunda verilmişdir. MünasibYtlYrin verilmY üsullarından biri n yerli, yYni n dYyişYnli predikatlardan istifadYyY Ysaslanır. Tutaq ki, predikatının dYyişYnlYrinin mümkün qiymYtlYr çoxluğu, uyğun olaraq, çoxluqlarıdır.

ilY düz hasilindY predikatının doğruluq kortejlYri çoxluğunu işarY edYk. Aydındır ki, bu çoxluqlarında n–ar münasibYt müYyyYn edir. Bu münasibYt predikatının qrafiki adlanır.

İnikaslar

İnikas vY ya funksiya anlayışı münasibYt anlayışının xüsusi halıdır.

TYrif 1. binar münasibYti o zaman funksional münasibYt adlanır ki, aşağıdakı şYrt ödYnilsin:

;

Funksional münasibYt eyni zamanda funksiya vY ya inikas da adlanır.

TYrifY YsasYn, münasibYti yalnız vY yalnız o zaman inikas (funksiya) adlanır ki,

münasibYti ödYnilsin. şYrtini ödYyYn y elementi kimi yazılır. MYsYlYn,

münasibYti funksional münasibYt deyil, çünki, birinci iki cütdY 1 elementi ilY cüt tYşkil edYn iki element vardır. Lakin

münasibYti isY funksional münasibYtdir. Funksional münasibYtin tYyin oblastı vY qiymYtlYr oblastı eyni zamanda uyğun inikasın tYyin oblastı vY qiymYtlYr oblastı adlanır.

BYzi kurslarda (mYsYlYn, orta mYktYb kursunda) funksiyanın tYrifi aşağıdakı kimi verilir.

TYrif 2. gYr X çoxluğundan götürülmüş hYr bir x elementinY Y çoxluğundan yeganY y elementi qarşı qoyularsa, onda belY uyğunluğa X çoxluğunda tYyin olunmuş funksiya deyilir.

GöstYrYk ki, bu tYrif yuxarıda verilYn tYrif ilY eynigüclüdür. Tutaq ki, inikası tYrif 1 vasitYsi ilY tYyin olunmuşdur. , işarY edYk. TYrifY YsasYn, ixtiyari elementi götürsYk şYrtini ödYyYn elementi vardır vY yeganYdir. BelYliklY, inikası tYrif 2-ni ödYyir. TYrsinY, ikinci tYrif ödYnilYrsY, onda olan funksional münasibYti tYyin olunmuşdur. BelYliklY, tYriflYrin eynigüclü olduğu isbat olundu.

Tutaq ki, funksional münasibYtdir, vY . Bu qısa olaraq vY ya kimi yazılır. X çoxluğunun inikası zamanı obrazı alt çoxluğuna deyilir. çoxluğunun proobrazı isY çoxluğuna deyilir. TYyin oblastı iki çoxluğun düz hasilinY daxil olan inikas ikidYyişYnli funksiya adlanır. Eyni qayda ilY çoxdYyişYnli funksiya anlyışı verilir.

İnikasların kompozisiyası. Tutaq ki, iki f vY g inikasları verilmişdir. Bu inikasların kompozisiyası dedikdY onların binar münasibYtlYr kimi kompozisiyası başa düşülür vY kimi işarY olunur. Asanlıqla göstYrmYk olar ki, (isbat edin) inikasların kompozisiyası inikasdır; eyni zamanda münasibYti ödYnilir. MünasibYt kimi, inikasların kompozisiyasının grafiki aşağıdakı kimi müYyyYn olunan cütlYr çoxluğudur:

.

MYsYlYn, vY funksiyalarının kompozisiyası olan funksiyası elY cütlYr çoxluğundan ibarYtdir ki, olsun. Sonuncu bYrabYrsizliyin hYllYr çoxluğu bütün şYklindY intervalların birlYşmYsindYn ibarYtdir.

MünasibYtlYrdY olduğu kimi inikasların da kompozisiyası kommutativlik xassYsinY malik deyil, lakin assosiativlik isY doğrudur, yYni inikaslar olarsa, onda

.

Tutaq ki, inikası verilmişdir. gYr ixtiyari elementi üçün olarsa, bu inikas eynilik vY ya vahid inikas adlanır vY kimi işarY olunur. gYr ini-

kası verilYrsY, onda inversiyası hYmişY vardır.

TYrif 3. inikası o zaman süryektiv inikas (yaxud A-nın B üzYrinY inikası) adlanır ki, ixtiyari elementi üçün elY elementi tapmaq mümkün olsun ki,

olsun.

MYsYlYn, funksiyası hYqiqi YdYdlYr çoxluğunun parçasına süryektiv inikasıdır. Lakin o, çoxluğunun özünY süryektiv inikası deyil. İki süryektiv inikasın kompozisiyası süryektiv inikasdır.

TYrif 4. inikası o zaman inyektiv inikas adlanır ki, ixtiyari elementlYri üçün münasibYti ödYnilsin.

TYrifdYn alınır ki, inyektiv inikas zamanı iki müxtYlif nöqtYnin obrazı iki müxtYlif nöqtY olur. MYsYlYn, inikası inyektivdir, isY inyektiv deyil. İki inyektiv inikasın kompozisiyası da inyektiv inikasdır.

TYrif 5. inikası o zaman biyektiv inikas adlanır ki, o hYm inyektiv vY hYm dY süryektiv olsun.

İki biyektiv inikasın kompozisiyası da biyektiv inikasdır.

MYsYlYn, funksiyası f: (intervalın uzunluğu dövrY bYrabYrdir) inikası kimi biyektivdir, lakin funksiyası isY f: inikası kimi biyektiv deyil.

Teorem. İxtiyari süryektiv inikası üçün münasibYti doğrudur.

İsbatı. İxtiyari elemeni götürYk. SüryektivliyY YsasYn elY elementi tapmaq olar ki, . DemYli, çoxluğu boş deyil. Tutaq ki, vY . Onda, vY ya . Kompozisiyanın tYrifinY görY .

TYrif 5. inikası o zaman tYrsi olan inikas adlanır ki, elY inikası tapmaq mümkün olsun ki, vY bYrabYrliklYri doğru olsun; bu halda h tYrs inikas adlanır vY kimi işarY olunur.

MYsYlYn, inikası kimi tYrsi olan inikasdır vY onun tYrsi funksiyasıdır.

Teorem 4-dYn aydın olur ki, YgYr münasibYti dY süryektiv inikas olarsa, onda tYrif 5-Y

YsasYn vY inikasları bir-birinin tYrsi olacaqdır. gYr iki vY funksiyalarının tYrsi varsa, onda kompozisiyasının da tYrsi vardır vY (isbat edin).