Template paper varehd 12

Figura 7.29 Variaţia pe axa z a tensiunilor normale principale şi a tensiunii

echivalente HMH, numeric [o, *, +, x] şi analitic [---]

În Fig. 7.30 – 7.34 sunt reprezentate grafic tensiunile tangenţiale principale, tensiunile normale corespunzătoare şi tensiunile octaedrice, numeric şi analitic.



Figura 7.30 (7.31) Variaţia pe axa z a tensiunii tangenţiale principale , respectiv

numeric [o, *, +] şi analitic [---]

Figura 7.32 Variaţia pe axa z a tensiunii tangenţiale principale

numeric [o, *, +] şi analitic [---]

Figura 7.33 (7.34) Variaţia pe axa z a tensiunilor normale respectiv a tensiunilor octaedrice, numeric [o, *, +] şi analitic [---]


7.7 VALIDAREA STĂRII DE TENSIUNI LA UN CONTACT ELASTIC NEHERTZIAN
Se determină componentele tensorului tensiune în cazul contactului elastic dintre două corpuri mărginite de suprafeţe omogene de gradul patru, încărcat normal cu sarcina N. În lipsa unei abordări analitice, se determină componentele tensorului tensiune pe baza celor două variante de calcul numeric.

Se impune precizarea că, pe aria de contact nu poate fi utilizată varianta de calcul a tensiunilor cu ajutorul sumelor integrale, datorită cazurilor de nedeterminare care apar în calcule. Rezultatele modelării sunt date adimensional, sub forma , unde este presiunea centrală de contact, iar tensiunile sunt date în [MPa].

Pentru exemplificare, se prezintă câteva concordanţe grafice privind determinarea numerică, prin cele două variante, a componentelor tensorului tensiune pentru puncte aflate într-un plan paralel cu planul limitrof al semispaţiului elastic, aflat la distanţa m, unde b este semiaxa mică a elipsei de contact.



a) b)
Figura 7.46 Distribuţia spaţială a tensiunii , la adâncimea

a) numeric, varianta I b) numeric, varianta II



a) b)
Figura 7.47 Distribuţia spaţială a tensiunii , la adâncimea

a) numeric, varianta I b) numeric, varianta II



a) b)
Figura 7.49 Distribuţia spaţială a tensiunii , la adâncimea

a) numeric, varianta I b) numeric, varianta II


Figura 7.52 Tensiunile normale , , , pe direcţia axei mari, respectiv axei mici, a elipsei de contact: numeric I (—), numeric II (*, o, +)



a) b)

Figura 7.53 Tensiunea echivalentă, în planul

a) pe direcţia axei mari a elipsei de contact b) pe direcţia axei mici a elipsei de contact

CAPITOLUL 8
DETERMINAREA NUMERICĂ A STĂRII DE TENSIUNI LA CONTACTUL ELASTIC CU SARCINĂ NORMALĂ ŞI TANGENŢIALĂ

Efectul unei tracţiuni tangenţiale pe o arie circulară de contact asupra stării de tensiuni, a fost abordată teoretic de Hamilton şi Goodman, [Ha66], Hill şi Ashelby, [Hi82], Diaconescu, [Di75], şi numeric de Vergne, Slevoacă ş.a., [Ve92], Glovnea ş.a, [Gl92], Iacobescu ş.a., [Ia92], Frunză, [Fr96]. În formă explicită, expresiile tensiunilor interne la contactul sferic cu alunecare sunt date de către Hamilton, [Ha83] şi Hill, D.A., Nowell, D., Sackfield, [Hi93]. Goodman şi Hamilton propun ca deplasările u, v, w datorate sarcinii normale, respectiv forţei tangenţiale să se exprime cu ajutorul derivatelor a patru funcţii de tensiuni. Expresiile tensiunilor se obţin din deplasări cu ajutorul legii generalizate a lui Hooke. În teză sunt prezentate expresiile analitice ale componentelor tensorului tensiune, datorate atât sarcinii normale, cât şi forţei tangenţiale orientată dupa axa Ox, deduse de Hamilton, reluate de Hill, [Hi93], utile în validarea modelului numeric asociat analizei stării de tensiuni la contactul elastic cu sarcină normală şi tangenţială.

Determinarea numerică a stării de tensiuni în punctele semispaţiului elastic are la bază utilizarea succesivă a principiului suprapunerii efectelor şi rezultatele obţinute la încărcarea semispaţiului elastic cu sarcină normală distribuită pe un domeniu dreptunghiular, respectiv, încărcarea cu sarcină tangenţială distribuită, [Cr02]. Solicitarea tangenţială, uniform distribuită pe celulă, este direct proporţională cu sarcina normală, prin coeficientul de frecare . Modelarea propusă are în vedere: calculul componentelor tensorului tensiune pe planul limitrof, în adâncime şi pe axa centrală a contactului; starea de tensiuni datorată sarcinii normale, forţei tangenţiale orientată pe direcţia axei x şi efectul cumulat al celor două solicitări; analiza comparativă a rezultatelor obţinute în procesul modelării. Se pun în evidenţă următoarele etape:

• 
  se introduc noi funcţii de potenţial, specifice prezenţei solicitării tangenţiale orientată după axa x;
  
• 
  condiţiile la limită se scriu pentru puncte aflate pe planul limitrof al semispaţiului elastic şi se referă la inexistenţa încărcării normale, inexistenţa încărcării tangenţiale orientată după axa y, existenţa încărcării tangenţiale după axa x şi distribuită pe un domeniu D;
  
• 
  se determină relaţiile de legătură între noile funcţii de potenţial şi funcţiile de potenţial introduse la solicitarea normală;
  
• 
  se scriu componentele vectorului deplasare, datorate încărcării tangenţiale (formulele lui Cerruti), în raport cu derivatele funcţiilor de potenţial specifice încărcării normale;
  
• 
  se determină componentele tensorului tensiune, datorate încărcării tangenţiale (legea lui Hooke);
  
• 
  se determină tensiunea echivalentă Huber-Missis-Hencky.
  

Pentru validarea modelului numeric se consideră contactul hertzian circular cu alunecare dintre două corpuri sferice, de raze , respectiv , caracterizate prin constantele elastice, . Sarcina de apăsare este , iar forţa tangenţială orientată după direcţia x este proporţională cu sarcina normală, prin coeficientul de frecare . Aria estimată de contact este dată de un pătrat cu latura , divizat în 1225 domenii elementare. Sunt realizate codurile calculator tensa2.m şi tensn3.m, în mediul de programare Matlab, pentru analiza stării de tensiuni la contactul sferic cu alunecare.

Reprezentările grafice date în Fig. 8.25, Fig. 8.27, Fig. 8.29 pun în evidenţă variaţia tensiunii echivalente , în punctele planului limitrof şi concordanţa rezultatelor modelării.

a) analitic b) numeric

Figura 8.25 Tensiunea echivalentă produsă în planul limitrof de

sarcina normală, distribuţii spaţiale

a) analitic b) numeric

Figura 8.27 Tensiunea echivalentă produsă în planul limitrof de forţa tangenţială, , distribuţii spaţiale



a) analitic b) numeric

Figura 8.29 Tensiunea echivalentă produsă în planul limitrof de sarcina

normală şi forţa tangenţială, , distribuţii spaţiale

În teză sunt puse în evidenţă valorile maxime, repectiv minime ale componentelor tensorului tensiune, datorate sarcinii normale, forţei tangenţiale şi efectului cumulat al celor două solicitări, într-un plan paralel cu planul limitrof al semispaţiului elastic, aflat la distanţa .

S-a constatat o bună concordanţă între rezultatele determinate pe cale analitică, respectiv numerică. Dintre reprezentările grafice care pun în evidenţă variaţia tensiunilor şi concordanţa rezultatelor modelării, se selectează cele care fac referire la tensiunea echivalentă:

Figura 8.64 Tensiunea echivalentă produsă de sarcina normală

la adâncimea m, pe direcţiile axelor

Figura 8.66 Tensiunea echivalentă produsă de forţa tangenţială,

la adâncimea m, pe direcţiile axelor

Pe baza codurilor calculator tensa2.m şi tensn3.m, asociate celor două modalităţi de determinare a stării de tensiuni, se calculează tensiunile pe axa centrală a contactului, utilizând un şir de valori cu pas constant din intervalul , adică , al axei z, unde r este raza cercului de contact. Sunt tabelate valorile maxime şi minime ale tensiunilor pe intervalul considerat, numeric şi analitic, constatându-se o bună concordanţă între rezultate.

Câteva reprezentări grafice ale modelării sunt puse în evidenţă în Fig.8.70, Fig.8.74, Fig.8.76 şi Fig.8.77.

Figura 8.70 Variaţia tensiunilor normale principale şi a tensiunii echivalente pe axa z, produse de încărcarea normală: numeric [o, *, +] şi analitic [---]

Figura 8.74 Variaţia tensiunilor normale , respectiv, octaedrice, pe axa z produse de încărcarea normală: numeric [o, *] şi analitic [---]

Figura 8.76 (8.77) Tensiunea tangenţială produsă de forţa tangenţială şi tensiunea echivalentă pe axa z, produsă de sarcina normală, forţa tangenţială şi efectul cumulat al celor două solicitări,

CAPITOLUL 9
METODA GRADIENTULUI CONJUGAT ŞI TRANSFORMATA FOURIER RAPIDĂ ÎN REZOLVAREA PROBLEMELOR DE CONTACT ELASTIC (CG+DC-FFT)

Utilizarea unor reţele de discretizare cu un mare număr de noduri face ca soluţionarea problemelor de contact elastic prin metode convenţionale să fie prohibitivă datorită efortului de calcul necesar. În scopul depăşirii acestui incovenient, au fost dezvoltate tehnici numerice rapide, precum multiintegrare multinivel (MLMS ) şi transformata Fourier rapidă (FFT).

Tehnica transformatei Fourier, combinată cu o schemă iterativă bazată pe metoda gradientului conjugat, a fost studiată de Nogi şi Kato (1977), Polonsky şi Keer [Po00b], Creţu, [Cr03].

În teză sunt prezentate: formularea analitică şi formularea discretă a problemei contactului elastic normal; algoritmul pentru determinarea ariei reale de contact şi a distribuţiei de presiuni, adaptare după [Po99]; validarea codului calculator asociat. Au fost realizate subprograme funcţii în mediul de programare Matlab, cu ajutorul cărora se rezolvă numeric probleme generale de contact elastic.

Contactul sferei de rază cu sfera de rază

În Fig. 9.1-9.2 sunt reprezentate grafic geometria corpurilor şi distribuţia presiunii de contact dată de modelul numeric, respectiv analitic (Hertz).

Figura 9.1 Geometria corpurilor în contact şi distribuţia axială a presiunii de contact (numeric şi analitic), 256x256



Figura 9.2 Distribuţia spaţială a presiunii de contact, model numeric, respectiv

analitic (Hertz), 256x256

Concordanţa dintre modelul numeric şi modelul analitic hertzian este foarte bună.

În Tab. 9.1 se prezintă, selectiv, comparaţii între diferite metode de calcul, cu privire la timpul şi precizia soluţiei în funcţie de numărul de noduri ale reţelei de discretizare. Codul calculator a fost rulat pe un computer cu memorie 512 MB şi procesor 3.2 GHz.

Tabel 9.1 Comparaţii între metodele de calcul

Metoda	Număr de puncte al reţelei	Timp de calcul [sec]	Eroare
Gauss	35x35 (1089)	17,14
Cholesky	35x35 (1089)	6,00
Gauss-Seidel	25x25 (625)	536,9
Gradient Conjugat (CG)	32x32 (1024)	3,13
Gradient Conjugat şi Transformata Fourier Rapidă (CG+DC-FFT)	128x128 (16384) 256x256 (65536) 512x512 (262144)	9,55 44,32 214,87

Forma simplificată a profilului Lundberg

Problema înlocuirii generatoarei rectilinii a unuia dintre cilindrii în contact printr-o generatoare curbilinie, care să asigure o repartiţie uniformă a presiunii maxime în lungul contactului constitue o temă mult studiată în literatura de specialitate. Profilul logaritmic propus de Lundberg, [Lu39], reprezintă prima abordare teoretică a problemei. Pentru modelarea numerică a profilului Lundberg, se consideră problema de contact elastic propusă de Hartnett, [Ha79]. Forma simplificată a profilului logaritmic propus de Lundberg se obţine în cazul unor ipoteze simplificatoare, problema restrângându-se la zona centrală a contactului.

În Fig. 9.5 sunt prezentate grafic rezultate ale modelării în cazul profilului Lundberg, forma simplificată.



Figura 9.5 Distribuţia spaţială şi în lungul axei x a presiunii de contact,

model numeric, CG+DC-FFT, 512x32

Forma integrală a profilului Lundberg

Renunţând la ipotezele simplificatoare din cazul anterior, se determină profilul Lundberg sub formă integrală care asigură (teoretic) o repartiţie uniformă a presiunii maxime în lungul contactului. Modelarea numerică propusă în teză realizează calculul integralelor din expresiile geometriei de contact cu metoda adaptiv-recursivă Newton Cotes de ordinul 8, ţinând seama şi de faptul că funcţiile prezintă singularităţi. Forma integrală a profilului Lundberg, prelucrată numeric, menţine concentrarea presiunilor la extremităţile contactului, dar efectul de capăt este mai puţin pronunţat, în comparaţie cu corecţia profilului iniţial, varianta simplificată propusă de Lundberg ( – forma integrală, respectiv 2639 MPa în varianta simplificată). Ecuaţia integrală a contactului elastic şi condiţia de echilibru, rezolvate numeric, conduc la rezultatele grafice prezentate în Fig. 9.8 – 9.10.

Figura 9.8 Distribuţia spaţială şi în lungul axei x a presiunii de contact,

model numeric, CG+DC-FFT, 512x32

Contactul dintre corpuri mărginite de suprafeţe CASSINI

Reprezentările grafice din Fig. 9.13 – 9.14, pun în evidenţă geometria iniţială de contact şi distribuţia spaţială a presiunii de contact. Se constată că punctele care reprezintă focarele ovalelor lui Cassini se comportă ca puternici concentratori de presiune.