Biografia lui henri-irenee marrou nu are nimic spectaculos

in

Urmează să examinez acum cunoştinţele matematice ale lui Augustin⁵⁰. Să-l consultăm rînd pe rînd despre cele patru secţiuni ale quadrivium-ului.

Voi începe cu astronomia, care nu ne va reţine mult. Căci am avut sur­priza să constat cît de rare sînt la Sfîntul Augustin aluziile la această ştiinţă. N-am identificat nici una în scrierile din perioada filozofică şi foarte puţine în restul operei. Nu mi se pare că ele atestă o cunoaştere serioasă a legilor astronomiei matematice. De altfel, sînt foarte puţine cele care se referă la ea⁵¹. Aproape toate aluziile la astronomie cîte se întîlnesc⁵² tratează despre cosmologie — să zicem, dacă termenul nu e prea ambiţios, despre astro­nomia fizică; ştim însă că aceasta nu ţine de astronomia, ci de physica, şi ca atare de filozofie.

Să ne amintim pe de altă parte că în Disciplinarăm libri pe care a început să le redacteze Sfîntul Augustin consacră cîte un tratat fiecăreia dintre ştiinţele cuprinse în eyKUKlioţ 7icxv5eia, exceptînd doar astronomia⁵³. Nu trebuie conchis de aici că aceasta rămăsese străină culturii sale ?

⁴⁸ Cf. Vallette, „Introducere" la ediţia îngrijită de el a Apologiei şi a Floridelor (col. „Bude"), p. IX.

⁴⁹ Cf. partea întîi, p. 104, n. 49.

⁵⁰ Nu am putut consulta Lecat, Erreurs des mathematiciens, care-i consacră, pare-se, o notă şi lui Augustin.

⁵¹ într-adevăr, nu prea văd alte texte în afară de: De Genesi ad litteram 1, 5 (9), P.L., voi. XXXIV, c. 226: durata revoluţiei lui Saturn este de treizeci de ani; Cetatea lui Dumnezeu 3, 15, \,P.L., voi. XLI, c. 92: eclipsele de Soare se produc la sfîrşitul lunii calendaristice; s-ar putea eventual adăuga o aluzie (din a doua sau a treia mînă: cf. Alfaric, Evolution intellectuelle, p. 235, n. 2) la Eudoxos din Cnidos, care se ocupase de numărătoarea stelelor {Cetatea lui Dumnezeu 16, 23, c. 500).

⁵² Cf. supra, partea întîi, p. 127.

⁵³ Cf. supra, p. 164 (coloana 4: Retractări 1, 6). Marietan a încercat zadarnic să nege această lacună; după el (Classifîcation des sciences, p. 56, n. 6), cuvîntul philosophia din această listă desemnează astronomia. In felul acesta însă, s-ar produce confuzie nu numai la nivelul terminologiei, ci şi al întregii structuri a culturii augustiniene. Pe de altă parte, să reamintim că în pasajul din Confesiuni, unde Sfîntul Augustin enumera manualele de arte liberale pe care le-a studiat în tinereţe, astronomia nu figurează (cf. supra, p. 164, c. 5: Confesiuni 4, 16 [30]).

210

STVDIVM SAPIENTIAE

Ar fi o concluzie gravă: ar însemna să se recunoască o serioasă lacună în punerea în practică a programului ştiinţific despre care am vorbit.

Poate că, înainte de a o accepta, ar trebui să o mai atenuăm. Ipoteza noastră se află de fapt în dezacord cu un text din Confesiuni: Augustin ne informează că una dintre primele influenţe care au contribuit la zdruncinarea credinţei sale în maniheism a fost cea a „filozofilor", ale căror teorii astro­nomice i s-au părut mai plauzibile decît extravaganta cosmogonie a lui Manes. în particular, nu găsise la acesta din urmă nimic comparabil cu acele legi deduse matematic din observaţii riguroase care permit învăţaţilor să calculeze exact, cu mai mulţi ani înainte, eclipsele de Lună sau de Soare, cu toată precizia dorită în privinţa datei, orei şi intensităţii fenomenului⁵⁴.

Această mărturie însă nu are, 4upă părerea mea, întreaga însemnătate ce i s-a acordat uneori⁵⁵: din ea, aflăm că Sfîntul Augustin a descoperit atunci existenţa astronomiei ştiinţifice şi valoarea ei experimentală. De unde, nu rezultă că s-ar fi îndeletnicit cu studiul nemijlocit al acestei discipline. A aflat de existenţa legilor care permit calcularea eclipselor, dar nimic nu ne arată că ar fi cunoscut el însuşi tehnica acestui calcul.

De altfel, în lecturile sale din filozofi⁵⁶ nu va fi întîlnit neapărat multe lucruri precise cu caracter ^Nmatematic, pentru că acestea le depăşeau competenţa.

Se poate obiecta, e drept, că de astronomia se ocupau matematicienii (mathematici), în particular astrologii, cărora li se dădea cu predilecţie această denumire⁵⁷. Or, ştim, tot din Confesiuni, că Sfîntul Augustin se inte­resase de arta lor, le citise tratatele⁵⁸ şi devenise capabil să întocmească, cel puţin sumar, un horoscop⁵⁹. Aşa este; dar pînă unde ajunsese în aceste studii şi ce cunoştinţe de veritabilă astronomie dobîndise din ele? Asta nu ştim. Nivelul tratatelor latineşti de astrologie pe care le posedăm nu e de natură să ne dea o idee prea înaltă despre ştiinţa pe care Augustin ar fi putut-o prelua din ele.

Cred că, date fiind toate aceste mărturii, argumentul a silentio îşi păs­trează întreaga greutate: rămîne un fapt că tratatele filozofice care invocă

⁵⁴ Confesiuni 5, 3 (3-6), pp. 94-96 Lab. Cf. îndeosebi: et quoniam multa philo-sophorum legeram... „şi pentru că citisem multe lucrări de filozofie".

⁵⁵ De pildă, Alfaric, Evolution intellectuelle, pp. 234-238.

⁵⁶ Şi de data asta, îmi vine greu să transform o aluzie atît de vagă în bibliografie precisă: Alfaric {op. cit., pp. 234-235) şi Boyer (Christianisme et neo-platonisme, p. 45, n. 3) se străduiesc să reconstituie aceste lecturi: De astronomia de Varro, şi de Apuleius, iar de Cicero, Somnium Scipionis şi traducerea din Aratus.

⁵⁷ De diversis quaestionibus LXXXIII, qu. 35,1, P.L., voi. XL, c. 28.

⁵⁸ Confesiuni 4, 3 (5), p. 69 Lab.

⁵⁹ li., 7, 6 (8), p. 153 Lab. Cf. privitor la aceste două pasaje comentariile lui Alfaric, Evolution intellectuelle, p. 221.

■ARTELE LIBERALE LA SFÎNTUL AUGUSTIN

211

firesc diferite ştiinţe „enciclice" nu cuprind nici o aluzie la singura ştiinţă pe care Disciplinarum libri o ignoră. Trebuie deci să credem că Augustin n-a ajuns prea departe în studiul astronomiei, de vreme ce aceasta n-a lăsat mai multe urme. în orice caz, trebuie să fim de acord că această ştiinţă nu joacă în cultura filozofică a lui Augustin rolul pe care teoria părea să i-l atribuie, la egalitate cu celelalte discipline.

IV

Dintre ştiinţele matematice, Augustin se referă de preferinţă la aritmetică. Operele din perioada filozofică ne oferă o bogată colecţie de aluzii la această disciplină. Dar ce anume cunoştinţe presupun ele ?

Unele nu pun în joc decît noţiuni foarte simple, care, după cum Au­gustin însuşi remarcă nu o dată, ţin de cea mai umilă cultură primară: ast­fel, 2+2 = 4, 2 + 4 = 6,1 + 3- IO⁶⁰; numerele întregi se împart în pare şi impare⁶¹... Unele consideraţii teoretice nu se situează cu mult mai sus: şirul numerelor (întregi) e infinit⁶²; pentru a afla dublul unui număr întreg, trebuie înaintat, pornind de la el, în şirul numerelor întregi cu atîtea unităţi cîte cuprinde numărul dat⁶³...

De musica însă ne permite să întrevedem că Augustin a căutat să ştie mai mult. întreaga parte a doua a primei cărţi este consacrată unui fel de intro­duceri aritmetice în studiul ritmicii⁶⁴. Aici se pot distinge două părţi, prima consacrată unei clasificări a raporturilor numerice⁶⁵, iar cea de a doua formării decadei⁶⁶. Le voi analiza rapid pe amîndouă.

⁶⁰ De immortalitate animae 2 (2), P.L., voi. XXXU, c. 1002: De libero arbitrio 2. 8 (21), ibid.,c. 1252; 2,12(34), c. 1259.

⁶¹ De musica 1,12 (20), P.L., voi. XXXII, c. 1095: illud nonne ab ineume pueritia didicimus, omnem numerum aut părem esse aut imparem ? „oare n-am învăţat încă din prima copilărie că orice număr este par sau impar?"

^aIi.,l, 11 (18), c. 1094.

⁶³ De libero arbitrio 2, 8 (23), c. 1253. A se vedea şi Cetatea lui Dumnezeu 12, 12, P. L, voi. XLI, c. 359-360; 12, 17, 1, c. 366 (noţiunea de infinit); 18, 23, 1, c. 580; 20, 7, 2, c. 668 (noţiunea de cub): primele două pasaje sînt interesante din punct de vedere filo­zofic, următoarele două cu totul elementare.

⁶⁴ De musica 1,8 (14)-l2 (26), c. 109l-l098; cf. către sfîrşit (1, 13 [27], c. 1098): Tempus est autem ad illos motus redire tractandos ac discutiendos, qui huic disciplinae proprie tribuuntur et propter quos ista de numeris, de alia scilicet disciplina quantum pro negotio satis visum est, consideravimus... „e timpul să revin la acele ritmuri, pentru a analiza şi discuta care dintre ele sînt în mod corect atribuite acestei discipline (: muzicii) şi de dragul cărora am luat în considerare aceste lucruri referitoare la numere, evident de la altă ştiinţă (: aritmetica), în măsura în care mi s-a părut necesar în această problemă".

⁶³ De musica 1, 8 (14)-l0 (17), c. 1092-l093. <*Id.,l, 11 (18)-l2(26),c. 1094-l098.

212

STVDIVM SAPIENTIAE

Următorul tabel reuneşte elementele clasificării raporturilor numerice după Augustin:

in

IV

f aequaks (complicaţi

(rationabiles... J »^eo^al^e" f connumerati... J „multiple"

motus... J „raţionabile" j j_naequales... J „numărate" "j _sesquati

„ritmuri, durate" 1 irrationabiles [..inegale" 1 dinumerati [„cu o măsură în plus"

[„iraţionabile" ^„calculate"

Ce înseamnă toţi aceşti termeni? Voi încerca să limpezesc explicaţiile uneori încîlcite ale lui Augustin⁶⁷. Pe de altă parte, voi căuta să lămuresc care sînt semnificaţia şi valoarea ştiinţifică a distincţiilor pe care le face. In acest scop, voi raporta De musica la expunerile clasice ale aritmeticii greceşti: cărţile 2, 7-9 şi 10 ale lui Euclid, Introducerea aritmetică a lui Nicomachos din Gerasa şi tratatele Muzica şi Aritmetica ale lui Theon din Smyrna⁶⁸.

Fireşte, nu acestea sînt sursele directe ale erudiţiei aritmetice a lui Augustin; stabilirea acestor surse e însă o problemă de cu totul alt ordin, pe care aici o putem lăsa deoparte⁶⁹: mă interesează nu atît să determin geneza psihologică a ştiinţei lui Augustin, cît să apreciez mărturia pe care ea o aduce privitor la nivelul culturii din secolul al IV-lea.

Am spus că Augustin ne prezintă o clasificare a raporturilor numerice; de fapt, el nu vorbeşte decît despre mişcări {motus), dar în realitate se ocupă doar de durata lor⁷⁰, iar aceasta se reduce la numărul ce o măsoară; pe de altă parte, studiază duratele considerate nu în sine, ci două cîte două, vizînd raportul dintre ele. Cititorul de azi e un pic şocat de această prezentare, simţindu-se parcă îndemnat să-i reproşeze lui Augustin că nu degajă clar

⁶⁷ Cred că sînt primul care dau un comentariu complet al acestui text; Edelstein a evitat dificultatea, mulţumindu-se cu o scurtă analiză {Musikanschauung Augustins, pp. 82-83). Amerio (// „De musica", pp. 63-65) l-a înfruntat cu curaj, dar fără a izbuti pe deplin, după cum de altfel o şi recunoaşte deschis (p. 65, n. 2).

⁶⁸ Aceste trei manuale sînt de fapt cele mai reprezentative pentru aritmetica greacă (cf. Tannery, Memoires scientifiques, 7, pp. 27 şi urm.). Ele formau baza învăţămîntului la şcoala filozofică din Atena pe vremea Sfântului Augustin (Schemmel, Hochschule von Ath'en, pp. 507-508).

⁶⁹ Aş aminti ipotezele cele mai plauzibile (cf. Alfaric, Evolution intellectuelle, p. 446, n. 2; Svoboda, Esthetique, pp. 70-71): Sfîntul Augustin ar fi putut citi De arithmetica cuprinsă în Disciplinarum libri de Varro; poate şi De arithmetica lui Apuleius, traducere a manualului lui Nicomachos (cf. Cassiodor, Institutiones 2, 3, P.L., voi. LXX, c. 1208B); dar aceste tratate s-au pierdut. Singurele manuale latineşti pe care le avem datează din secolul al Vl-lea: De arithmetica de Boethius (adaptare a lui Nicomachos) şi a lui Cassiodor (rezumat al precedentului: Institutiones 2, 4 P.L., voi. LXX, c. 1204-l208).

⁷⁰ De musica 1, 7 (13 sfîrşit)-8 (14),c. 1091.

ARTELE LIBERALE LA SFÎNTUL AUGUSTIN

213

această noţiune de raport pe care e construită întreaga expunere. Dar acest defect nu trebuie să-i fie imputat, pentru că, aşa cum se vede din expunerea lui Nicomachos, aritmetica elenistică se obişnuise de mult să nu separe studiul raporturilor de cel al numerelor considerate în sine⁷¹. Să urmărim însă textul mai departe:

I. Augustin numeşte motus rationabiles două durate care admit o măsură comună, irrationabiles pe cele ce nu se bucură de această proprietate⁷².

La prima vedere, această definiţie se potriveşte cu ceea ce şi în mate­matica de astăzi se cheamă caracter raţional: într-adevăr, noi am spune că numărul care măsoară raportul a două durate care nu au o măsură comună este un număr iraţional. Aceasta era de altfel o noţiune familiară matematicii greceşti clasice⁷³. Să fim însă atenţi: este important să observăm că în lipsa unor simboluri adecvate Euclid nu aplică această noţiune decît la mărimi, \isy£Q\\, nu la numere, âpiGum. Grecii defineau 6.piQ\i6q drept o mulţime de unităţi, monades¹⁴, ceea ce făcea ca aritmetica lor în sens strict să nu poată studia decît numerele întregi.

Sfîntului Augustin nu-i era necunoscută această definiţie restrictivă a conceptului de număr: un text foarte precis ne face dovada că pentru el

⁷¹ Nicomachos, după ce a studiat numerele considerate în sine (pare, impare), trece oarecum firesc la studiul raporturilor de egalitate şi de inegalitate: Introducere aritmetică 1, 17, 1, p. 44 Hoche; cf. Boethius, Aritmetica 1, 20 sfîrşit, p. 45 Friedlein; Cassiodor, c. 1205B.

⁷² De musica 1, 8 (14 sfîrşit), P.L., voi. XXXII, c. 1042: in duobus motibus itapartes dimensas habentibus ad invicem ut possent dici tot ad tot „.. .în cele două feluri de durate avînd părţile, luate în sine, astfel calculate, încît să se poată spune atît la atît..." id., 1, 9 (15), ibid.,C. 1092: duo igitur motus qui ad şese, ut dictumest, habent aliquam numerosam dimensionem... Appellemus ergo, si placet, illos qui inter se dimensi sunt, rationabiles; illos autem qui ea dimensione carent, irrationabiles „aşadar, două durate care, după cum s-a spus, au o anumită dimensiune exprimată prin numere întregi... să numim, aşadar, dacă ne punem de acord, raţionabile pe cele care sînt proporţionate una în raport cu cealaltă, şi iraţionabile pe cele care nu comportă această dimensiune..."; id., 1, 11 (18 început), ibid., c. 1094... rationabiles motus, id est qui ad şese habent aliquam numerorum dimen­sionem. .. „durate raţionabile, adică cele care comportă o anumită dimensiune exprimată prin numere întregi..."

⁷³ Euclid, Elemente 10, definiţia 1: MeteSti History ofGreek Mathematics, p. 79, n. 1; Cantor, Vorlesungen, 1, p. 254). Cît despre ceea ce el numeşte raţional, iraţional (preoţi, âXoyoi: 10, definiţia 4), e vorba de o noţiune fără echivalent exact în matematica modernă.

⁷⁴ Euclid, Elemente 7, definiţia 2. Cf. Gow, op. cit., p. 74, n. 4. Cantor, op. cit., p. 147; Rey, Jeunesse de la science grecque, pp. 192-l95, 279-283. De aici, rolul eminent acordat de gîndirea antică noţiunii de unitate: vezi la Sfîntul Augustin, de pildă, De ordine 2, 18 (47), P.L., voi. XXXII, c. 1017 (privitor la sursele stoice şi platoniciene ale acestui pasaj, cf. Svoboda, Esthetique, pp. 4l-42 şi, în general, Boyer, Idee de verite, P- 75).

214

STVDIVM SAPIENTIAE

numerus înseamnă într-adevăr „număr întreg"⁷⁵. Or, dacă recitim atent definiţiile citate adineauri ale numerelor rationabiles, constatăm că noţiunea de măsură comună nu e luată în toată generalitatea, ci este subordonată noţiunii de numerus, de număr întreg: este vorba de o dimensio numerorum, numerosa „măsură a numerelor, exprimată printr-un număr (întreg)". Să traducem: o măsură comună care să permită (la măsurarea a două durate date) obţinerea de numere întregi. Ca atare, motus rationabiles desemnează doar duratele ce au drept măsuri numere întregi; motus irrationabiles reunesc toate duratele ale căror măsuri sînt fie numere fracţionare, fie numere ira­ţionale în sensul modern al cuvîntului⁷⁶.

Definiţia dată de Sfîntul Augustin este deci destul de stîngace; el nu şi-a dat seama că era de prisos să recurgă la noţiunea de raţionalitate de vreme ce se plasa înăuntrul noţiunii mai înguste de număr (întreg). Ai impresia că a contopit cu stîngăcie în una singură cele două definiţii euclidiene, a lui ue7E0oq oij|i,ueTpov „mărime simetrică" şi a lui a.pi6u6c; „număr".

II. — Duratele ale căror raporturi sînt numere întregi se împart în durate egale şi durate inegale, noţiune simplă care nu necesită explicaţii. Fac doar observaţia că ele erau studiate în manualele clasice ale lui Nicomachos şi Theon⁷⁷.

III. — Augustin împarte apoi duratele inegale în două grupuri: numeşte motus connumerati două durate astfel încît numerele care le măsoară sînt a) unul multiplul celuilalt sau b) ambele multipli ai diferenţei dintre ele;

⁷⁵ Cf. Scrisoarea 3, 2, P.L., voi. XXXIII, c. 64: Sfîntul Augustin opune numărul inte­ligibil numărului sensibil; numărul sensibil este mărimea materială (nam quid est aliud sensibilii numerus, nisi corporeum vel corporum quantitas „căci ce altceva este numărul perceptibil ciecît [ceva] material sau cantitate a corpurilor"); el admite un infinit al mici­mii (căci pentru Augustin materia e divizibilă la infinit), dar nu şi unu) a! mărimii (pentru că lumea materială este limitată); în schimb, numărul inteligibil, ce! de care se ocupă disciplina aritmetică, admite infinitul mărimii (şirul numerelor este nelimitat, cf. supra, p. 211), iar pe celălalt nu, neputînd să coboare sub unitate: non tamen infinite minuitur, nani non eum licet ultra rnonadem resolvere „...totuşi, el nu poate fi micşorat la infinit, nefiindu-i îngăduit să coboare mai jos de unu". Din această propoziţie, se vede că nume­rus = număr întreg. Cf. şi De libero arbitrii) 2, 8 (23), P.L., voi. XXXII, c. 1253.

⁷⁶ Lipsa unui simbol potrivit e cea care-l face pe Augustin să nu dea un exemplu de motus irrationabiles (Amerio comite în privinţa asta o eroare, // „De musica", p. 65 n. 2), în timp ce pentru toate categoriile de motus rationabiles dă exempie.

¹¹ De musica 1, 9 (15), P.L., voi. XXXII, c. 1092... Utrum tibi videatur maior concordia in motibus rationabilibus eorum qui aequales inter se, quam eorum qui sunt inaequales „poate că ţie ţi-ar părea că există un mai mare acord la duratele rationabile ale acelora care sînt egale între ele decît ale acelora care sînt inegale..." Cf. Nicomachos 1, 17, l-3, p. 44 Hoche; Theon, Muzica 22, p. 120 Dupuis; Boethius 1, 21, p. 45 Friedlein; Cassiodor. c. 1205.

ARTELE LIBERALE LA SFÎNTUL AUGUSTIN

215

motus dinumerati, două durate care nu se află în nici unul dintre aceste cazuri⁷⁸.

IV. — Ultima distincţie nu face decît să separe cele două categorii reunite sub numele de connumerati: duratele multiple constituie motus complicaţi; cele ale căror numere sînt multipli ai diferenţei dintre ele sînt numite motus sesquati¹⁹.

Aceste din urmă două distincţii lasă o impresie de stîngăcie: se pare că ele nu corespund decît unui artificiu de expunere, unei preocupări de falsă simetrie: cele două distincţii dihotomice se reduc în realitate la una singură cu trei termeni: connumerati nu reprezintă de fapt nimic definit, fiind doar

⁷⁸ De musica 1, 9 (15-l6), P. L, voi. XXXH, c. 1092-l093: porro inaequalium nome alii sunt in quibus possumus dicere quota parte sua maior aut coaequetur minori aut eum excedat „apoi, dintre duratele inegale sînt unele despre care putem spune în a cîta parte a lor durata mai mare sau o egalează pe cea mai mică, sau o întrece" (ex. din prima categorie: 2 şi 4; din categoria a doua: 6 şi 8)... aliiautem in quibus non idem dici potest „altele însă despre care nu se poate afirma acelaşi lucru..." (ex. 3 şi 10, 4 şi 11)... Appellamus ergo istosquos praeponimus connumeratos, illas autem quibus hos praeponimus, dinumeratos „aşadar numim « connumerati» pe cele pe care le-am citat mai întîi şi « dinumerati» pe cele citate ulterior". Textul lui Augustin este aici destul de încîlcit: dacă una dintre cele două categorii ce urmează să alcătuiască connumerati este din capul locului definită exact: motus in quibus possumus dicere, quota parte sua maior... coaequetur minori „durate despre care putem spune în a cîta parte cea mai mare... egalează pe cea mai mică" ( = două numere, dintre care cel mai mare este un multiplu al celui mai mic); definiţia pentru sesquati face obiectul unor retuşări succesive. Augustin spune mai întîi: (motus) in quibus possumus dicere quota parte sua maior... (minorem) excedat „(durate) despre care putem spune în a cîta parte a lor cea mai mare... întrece (pe cea mai mică)", ceea ce înseamnă două numere astfel încît diferenţa lor este o fracţie întreagă a celui mai mare, ceea ce înseamnă că numărul mai mare este un multiplu al diferenţei lor. Mai departe însă (De musica 1,10 [17], c. 1093), reluînd această definiţie, el precizează: genus... in quo ea pars qua excedit maior minorem ambos metitur, id est aliquoties habent eam et maior et minor „specie... în care acea parte prin care cea mai mare o întrece pe cea mai mică le măsoară pe amîndouă, adică de cîte ori le cuprinde şi cea mai mare şi cea mai mică", precum 6 şi 8: el vrea deci ca ambele numere, şi nu doar cel mai mare, să fie multipli ai diferenţei lor. în fapt, dar Sfîntul Augustin nu o spune_l cele două definiţii se reduc la una singură, cea de a doua condiţie fiind implicată de prima. într-adevăr, fie două numere întregi, a şi b astfel încît:

a — p (a - b), unde p e un întreg > 1. Avem a-b=p(a-b)-b

de unde b = (p - 1) (a - b),

şi deci b tun multiplu al diferenţei a - b.

⁷⁹ De musica 1, 10 (17), P.L., voi. XXXII, c. 1093: unum genus est connumeratorum in quo minor numerus metitur maiorem... aliud genus est in quo ea pars qua excedit maior minorem, ambos metitur... Quocirca, si tibi iam videtur, illi ubi multiplicato minore fit maior, vocentur complicaţi; illi autem sesquati... „o categorie este cea a duratelor aflate în raporturi determinate, în care numărul mai mic îl măsoară pe cel mai mare... o altă cate­gorie este aceea în care acea parte prin care numărul mai mare îl întrece pe cel mai mic le măsoară pe amîndouă... De aceea, dacă eşti de acord, acele la care numărul mai mic devine, prin multiplicare, mai mare să poarte numele de „complicaţi » (multipli); însă acelea în care numerele sînt multipli ai diferenţelor..."

216

STVDIVM SAPIENTIAE

o clasă artificială ce reuneşte complicaţi şi sesquati, care doar ele fac obiectul unor definiţii veritabile.

Am căutat să mă dumiresc dacă există vreo raţiune care să explice aceste fapte. E uşor de înţeles ce sînt complicaţi, „multiplii" noştri; de unde a scos însă Augustin bizarele sesquati ?

Dificultatea se lămureşte dacă raportăm textul său la cele ale lui Nico-machos şi Theon. înăuntrul clasei raporturilor de inegalitate, aceştia deosebesc şi studiază cinci feluri de raporturi remarcabile⁸⁰:

1. Raportul dintre un număr noXXanXămoq „multiplu" şi un vnoKoXkank.iKn.QC, „submultiplu", multiplu : submultiplu, adică a : b = m.

2. Raportul dintre un Ejuuoptoc, „subparticular" şi un vneniiiopwq „sub-superparticular", în latineşte sugerparticularis : subsuperparticularis, adică a : b = m + 1 : m.

3. Raportul dintre un eTttuepTic, „care conţine un număr şi mai multe dintre părţile lui" şi un •bîtejtiuepfic, „număr conţinut în altul de o dată şi o fracţiune", superpartiens : subsuperpartiens, adică a : b = 2m + n : m + n.

4. Raportul dintre un TioXXanXa<5xtit\\i6pxoq „multiplu care subdivide" şi un "U7to7:oM.a7rtaxmultiplex superparticu-laris : submultiplex superparticularis, adică a : b = mn + 1: n.

5. Raportul dintre un 7toM.q7&cxaieJtuiepf|c, „multiplu care conţine un număr şi mai multe dintre părţile lui" şi un \)%onoXXanXaaxtn\.\izpr\q „submultiplu care conţine un număr şi mai multe dintre părţile lui", multiplex superpartiens : submul­tiplex superpartiens, adică a : b = p(m + 1) + m : m+ 1, unde, bineînţeles, p > 1.

Să comparăm această listă cu diviziunea operată de Augustin între connu-merati. Complicaţi sînt noXXanXăoioi/hnonoXXanXăaioi; cît despre sesquati, e uşor de dovedit că ei nu sînt altceva decît e7U|i6pioi/m£7U|i6pioi⁸¹. Aşadar, connu-merati reprezintă primele două clase din cele cinci raporturi remarcabile pe care aritmetica clasică le reţinea printre raporturile de inegalitate.

pj_e: —=—P—, raport de formaejnuopioş „ cu o fracţie în plus" /-UTteTuuopioţ „cu

⁸⁰ Nicomachos 1,17, 7 şi urm., pp. 45 şi urm. Hoche; Theon, Muzica 22 şi urm., pp. 120 şi urm. Dupuis; iar pentru terminologia latină corespunzătoare, Boethius 1, 22 şi urm., pp. 46 şi urm. Friedlein; Cassiodor, c. 1205C şi urm. Cf. Gow, Greek Mathematics, p. 90.

⁸¹ într-adevăr, fie a şi b două sesquati; prin definiţie, avem:

a = p (a — b) De unde (p-l)a=pb

—