Düzgün çoxbucaqlının simmetriy oxları və simmetriya mərkəzi Teorem Düzgün çoxbucaqlının hər hansı təpə nöqtəsindən keçən çoxbucaqlı xaricinə çəkilmiş çevrə diametri onun simmetriya oxudur.
Isbatı: ABCDE...düzgün çoxbucaqlısının C təpə nöqtəsindən, xaricə çəkilmiş çevrənin CM diametrini keçirək. Bu diametr çevrəni və çoxbucaqlını iki hissəyə bölür. C nöqtəsindən eyni məsafədə olan nöqtələri cüt-cüt birləşdirək. (BD, AE...).
Göstərək ki, B və D, A və Enöqtələri CM düz xəttinə perpendikulyar olan xəttlər üzərində yerləşməklə bu xətdən bərabər məsafədədirlər (yəni simmetrikdirlər). Həqiqətən də bərabəryanlı və -dəCM bucaq tənböləni olduğu üçün bu üçbucaqların qarşı tərəflərini yarıya bölməklə onlara həm də perpendikulyardır. Deməli, (burada K və L diametri uyğun olaraq BD və AE düz xətt parçaları ilə kəsişmə nöqtəsidir). Analoji üsulla düzgün çoxbucaqlının CM diametrinə nəzərən simmetrik olduğunu göstərmək ollar.
Teorem Düzgün çoxbucaqlının hər hansı tərəfinin ortasından keçən, xaricə çəkilmiş çevrə diametri bu çoxbucaqlının simmetriya oxudur.
Isbatı: Əgər çoxbucaqlının tərəfləri sayı tək olarsa, onun hər hansı təpə nöqtəsindən keçən xaricə çəkilmiş çevrə diametri qarşı tərəfin ortasından keçən diametr qarşı təpə nöqtəsindən keçəcək. Hər iki halda diametr təpə nöqtəsindən keçir. Bu hallar yuxarıda nəzərdən keçirilmişdir. Tutaq ki, çoxbucaqlının tərəfləri cüt saydadır. Onda onun hər hansı tərəfinin ortasından keçən xaricə çəkilmiş çevrə diametri qarşı tərəfin də ortsından keçəcək. Bu halı ayrıda nəzərdən keçirək. Tutaq ki, çevrə daxilinə ABCDE... çoxbucaqlısı çəkilmişdir. CD tərəfinin ortasından MN diametrini keçirək . Məlumdur ki, çevrə mərkəzini vətərin ortası ilə birləşdirən düz xətt parçası vətərə perpendikulyardır, yəni . MN diametri ilə eyni bucaq əmələ gətirən nöqtələri cüt-cüt birləşdirək (BE, AF,...). Tutaq ki, BK parçası diametri K nöqtəsində kəsir. Əgər B və E nöqtələrini O nöqtəsi ilə birləşdirsək -də OK tənbölən olar (qurmaya əsasən). Bərabəryanlı üçbucaqda tənbölən həm median və hündürlük olduğu üçün olar. Lakin olduğundan BE//CD, yəni BCDE bərabəryanlı trapesiyadır və MN diametri oturacağın orta perpendikulyarıdır. Uyğun qayda ilə göstərmək olar ki, bu diametr bütün mümkün olan sayda bərabəryanlı trapesiyanın oturacaqlarının orta perpendikulyarıdır, yəni MN düzgün çoxbucaqlının simmetriya oxudur.
Nəticə: Ixtiyari düzgün n-bucaqlıda tərəflərin sayı qədər simmetriya oxu vardır. Tərəflərin sayı cüt, yəni n = 2k olduqda K sayda simmetriya oxu təpə nöqtələrindən və K sayda OX qarşı tərəflərin ortasından keçir. Tərəflərin sayı tək olduqda, simmetriya oxlarının hər biri həm təpə nöqtəsindən, həm də qarşı tərəfin ortasından keçir.
