İlyas həSƏnov həNDƏSƏ Çoxbucaqlılar (Teoremlərin isbatı) baki 2009

Isbatı:
a) Tutaq ki, A₁A₂...A_n düzgünn-bucaqlıdır. -də A₁A₂ tərəfinə OM apofemi çəkin. Onda A₁M = MA₂ = ,OA₁ = R, OM = r olar. Düzbucaqlı -də

və

Digər tərəfdən düzbucaqlı -də

b) Düzbucaqlı -də

Teorem
Tərəfi a_n xaricinə çəkilmiş çevrənin radiusu R, daxilinə çəkilmiş çevrənin radiusu rolan düzgün n-bucaqlının perimetri və sahəsi aşağıdakı münasibətlərdən tapılır.
1.

2.

Isbatı:
a) Düzgün çoxbucaqlının perimetri onun tərəfləri cəminə bərabər olduğundanP=na_n. Burada a_n = 2Rsin olduğunu nəzərə alsaq P = 2 Rn sin , a_n = 2r ∙ tg olduğunu nəzərə alsaq P = 2 r ∙ n ∙tg olar.
b) Düzbucaqlı -in sahəsi üçün OM ∙ A₁A₂ yazmaq olar. A₁A₂ = = a_n, OM=r olduğunu nəzərə alsaq a_nr olar. Onda S = n . Son ifadədə r = ctg nəzərə alsaq

Digər tərəfdən

düsturunu almaq olar.
Xüsusi hallar
Düzgün n-bucaqlı üçün alınmış

düsturlardan istifadə edərək n-in müxtəlif qiymətlərində düzgün çoxbucaqlıların bəzi elementlərini hesablamaq olar.
a) Bərabərtərəfli üçbucaq
n = 3 olduqda

b) Kvadrat

c) Düzgün beçbucaqlın = 5 olduqda

Bu düsturlardan istifadə etmək üçün sin 36º və ctg36º triqonometrik funksiyalarının qiymətlərini hesablamaq lazımdır. Aşağıdakı üsulları nəzərdən keçirək.
1-ci üsul.

Digər tərəfdən
və

düsturlarından istifadə etsək

kub tənliyini alarıq. Burada y = sin 18º (0 <y< 1) əvəzləməsi aparsaq 4y³ – 2y² – 3y + + 1 = 0 olar.
y = 1 kökü tənliyin həlli olduğundan (4 – 2 – 3 + 1 = 0) tənliyin sağ tərəfini aşağıdakı şəkildə vuruqlara ayırmaq olar: 4y² – 2y² – 3y + 1 = (y – 1)(4y² + 2y – 1). Onda

Lakin 0 <y< 1olduğundany = . Deməli sin18º = . Sadə çevirmələr apar­saq


2-ci üsul.
sin 18º-ni hesablamaq üçün yan tərəfi 1 vahidə, təpə bucağı 36º olan bərabəryanlı üçbucaq götürək. Bu üçbucaq vahid dairə daxilinə çəkilmiş düzgün önbucaqlının tərəfinin radiuslarla əmələ gətirdiyi üçbucaqdır.
Oturacağa bitişik bucağın tənbölənini çəkək. Onda (iki bucağına görə) və . Tutaq ki, AD = x, onda AD tənböləni -ni iki bərabəryanlı üç­bu­­cağa ayırdığı üçün OD =AD = AB= x, BD = OB – OD = 1 – x. Bu ifadələri təna­süb­­də nəzərə alsaq

x> 0 olduğundanx = olar. Onda sin 18º = = . sin 36º və ctg 36º 1-ci üsulda olduğu kimi tapılır.
sin 36º və ctg 36º üçün aldığımız ifadələri düzgün beşbucaqlı üçün əldə etdiyimiz düsturlarda nəzərə alsaq

olar.
Düzgün altıbucaqlın = 6 olduqda

olar.