İlyas həSƏnov həNDƏSƏ Çoxbucaqlılar (Teoremlərin isbatı) baki 2009

2 -ci üsul.
Məlumdur ki, ∆ABC-nin sahəsini S_∆ABC = 2R² sin α sin β sin γ düsturu ilə tapmaq olar. Burada

olduğunu nəzərə alsaq:

Son ifadədə a = 2Rsinα, b = 2Rsinβ, c = 2Rsin γ olduğunu nəzərə alsaq

Burada B₁C₁= a cos α, A₁C₁=b cos β, A₁B₁= c cos γolduğundan

Burada P_Hortomərkəz üçbucağın yarımperimetridir.
Teorem
Itibucaqlı -nin məlum sahəsinə görə ortomərkəz üçbucağının sahəsi aşağıdakı münasibətdən tapılır. S_H = 2S cosα ∙ cosβ ∙ cosγ.
Isbatı:
Tutaq ki, ortomərkəz üçbucağın tərəfləri a₁, b₁, c₁-dir. Məlumdur ki, a₁= a cos α,
b₁=b cos β, c₁= c cos γ

Burada γ₁ = 180 – 2γ olduğundan γ₁ = sin (180 – 2γ) = sin 2γ. Onda

Teorem
Ortomərkəz üçbucağın daxilinə çəkilmiş çevrənin radiusu aşağıdakı münasibətdən tapılır.

Isbatı:

Burada S = 2R² sin α sin β sin γ olduğunu nəzərə alsaq r_H = 2R cosα ∙ cosβ ∙ cosγ olar.
Teorem
Ixtiyari üçbucağın daxilinə çəkilmiş üçbucaqlardan ən kiçik perimetri olanı, ortomərkəz üçbucaqdır.
Isbat uzun olduğuna görə vermirik.
Tutaq ki, -nin hündürlükləri H nöqtəsində kəsişirlər. A, B, C, Hnöqtələrindən hər biri digər üç nöqtəni əmələ gətirdiyi üçbucağın ortomərkəzidir. Məsələn A nöqtəsi ortomərkəz nöqtəsidir. Həqiqətən də BC₁,CB₁,HA₁ -nin hün­dür­lük­lə­ri­dir. A, B, C, Hnöqtələrindən hər hansı ikisini birləşdirən düz xətt, digər ikisini birləş­di­rən düz xəttə perpendikulyardır.