İlyas həSƏnov həNDƏSƏ Çoxbucaqlılar (Teoremlərin isbatı) baki 2009

Tanqensial üçbucaq
Tərif:
Tərəfləri verilmiş üçbucağın xaricinə çəkilmiş çevrəyə təpə nöqtələrində toxunan üçbucağa tanqensial üçbucaq deyilir. Şəkildə -yə nəzərəntanqensial üçbuca­qdır.
Teorem
Tanqensial üçbucağın bucaqlarının -nin bucaqları ilə ifadəsi aşağıdakı müna­si­­bətlərdən tapılır.
Isbatı:

Uyğun qayda ilə digər düsturları almaq olar.
Nəticə:
Ortomərkəz və tanqensial üçbucaqların uyğun bucaqları bərabər olduğundan onlar oxşar­­dırlar.
Teorem
Ixtiyarı üçbucağın sahəsi ortomərkəz və tanqensialı üçbucaqların həndəsi ortasına bəra­­bərdir.
Isbatı:
Verilmiş üçbucağın, ortomərkəz və tanqensial üçbucaqlarının sahə və perimetrlərinin uyğun olaraq S, P, S_H, P_H, S_t, P_t ilə işarə edək. Onda tanqensial və ortomərkəz üçbu­caqlar oxşar olduğu üçün = (1). Digər tərəfdən S_t =P_t ∙ R (2) ( -nin xari­­cinə çəkilmiş çevrə eyni ilə tanqensial üçbucağın daxilinə çəkilmiş çevrədir). Məlumdur ki, S = P_HR (3). (2) və (3)-dən = (4) (1) və (4) -dən

Teorem
-nin sahəsiS bucaqları α, β, γ olarsa, tanqensial üçbucağın sahəsi

Isbatı:
Məlum düstura əsasən
Burada S_H = 2S cosαcosβcosγ olduğunu nəzərə alsaq:

Teorem
-nin tərəfləria, b, c, uyğun bucaqları α, β, γ olarsa tanqensial üçbucağın tərəf­lərini aşağıdakı münasibətdən tapmaq olar.



Isbatı:
Məlumdur ki, ortomərkəz və tanqensial üçbucaqlar oxşardırlar, yəni:
.
Oxşarlıq əmsalını aşağıdakı kimi tapmaq olar.

Onda

Uyğun qayda ilə

Teorem
-nin bucaqları α, β, γ xaricinə çəkilmiş çevrənin radiusu R olanda, bucaq üç-bucağa nəzərən tanqensial olan -nin tərəfləri aşağıdakı münasibətlərdən tapı­lır.



Isbatı:
olduğundan a₂ = ka₁, b₂ = kb₁, c₂ = kc₁. Burada

olduğunu nəzərə alsaq:

Uyğun qayda ilə almaq olar.
Teorem
-nin xaricinə çəkilmiş çevrənin radiusu R, onun daxili bucaqları α, β, γ olarsa, tan­qensial üçbucağın perimetri aşağıdakı münasibətdən tapılır:
P_t = Rtgαtgβtgγ