O‘zbekiston respublikasi oliy va o‘rta maxsus ta’lim vazirligi toshkent davlat pedagogika universiteti huzuridagi pedagog kadrlarni qayta tayyorlash va ularning malakasini oshirish tarmoq markazi

Darsdan tashqari mustaqil ta’lim Mavzuni o‘zlashtirish darajasini mustahkamlash. Mavzu bo‘yicha asosiy tushunchalar va tasdiqlar o‘z ifodasini topishi uchun, Cheksiz o‘nli kasrlar. Irratsional sonlar.Haqiqiy sonlar va ularni taqqoslash. Chegaralangan va chegaralanmagan sonli to‘plamlar. Chegaralangan to‘plamning aniq chegaralari va ular haqidagi teorema. Haqiqiy songa kami bilan va ortig‘i bilan o‘nli yaqinlashtirish. Haqiqiy sonlar ustida arifmetik amallar.Sonlar o‘qi. Haqiqiy sonlar to‘plamning xossaslari. To‘laligi (zichligi). Sonning absolyut qiymati(moduli). Sonli to‘plamlar. Interval, segment (kesma). Nuqtaning atrofi. Chekli va cheksiz (sanoqli) to‘plamlar. Nyuton binomi. Matematik induksiya metodi savollari bo‘yicha o‘z– o‘zini tekshirish savollariga javoblar yozish va muammoli topshiriqlarni bajarish talabalarga mustaqil talim sifatida beriladi

13. 
    Chegaralangan to‘plamning aniq yuqori va aniq quyi chegaraga ega ekanligi haqidagi teoremani ayting .
    
14. 
    Ushbu ayniyatni isbotlang.
    
15. 
    Ushbu ayniyatni isbotlang.
    
16. 
    Ushbu ayniyatni isbotlang.
    
17. 
    Ushbu ayniyatni isbotlang.
    
18. 
    Ushbu to‘plamning aniq yuqori chegarasi to‘plamning aniq quyi chegarasi bo‘lishini isbotlang.
    
19. 
    Yuqoridan (quyidan) chegaralangan to‘plamning yagona aniq yuqori (quyi) chegaraga ega ekanligini isbotlang.
    
20. 
    Aniq(quyi va yuqori) chegaralarning to‘plamga qarashli bo‘lishi ham, qarashli bo‘lmasligi ham mumkinligini ko‘rsating. to‘plamuchun: a) b) v) g) bo‘lishiga misollar keltiring. to‘plam a) va b) hollarda eng katta, v) va g) hollarda eng kichik songa ega bo‘ladimi?
    
21. 
    Barcha juft natural sonlar to‘plami va natural sonlar to‘plami o‘rtasida biyektiv moslik o‘rnating.
    
22. 
    Ratsional sonlar to‘plamining sanoqli ekanligini isbotlang.
    
23. 
    Har qanday cheksiz to‘plam sanoqli qism to‘plamga ega.
    
24. 
    akslantirish biyeksiya ekanli-gini isbotlang.
    

Isbot. Chiziqli akslantirishning biyeksiya ekanligini ko‘rsatish uchun ixtiyoriy da tenglamaning yagona yechimga ega ekanligini ko‘rsatish yetarli. Yechimning mavjudligi akslantirishning syuryektivligini, yechimning yagonaligi esa uning inyektivligini ta’minlaydi. Bu tenglamaning yechimi yagona bo‘lib, u dir.

25. 
    Agar biyektiv akslantirish bo‘lsa, u holda ixtiyoriy uchun ham biyeksiya bo‘lishini isbotlang.
    
26. 
    Ixtiyoriy ikkita va kesmalardagi nuqtalar to‘plamlari ekvivalentligini isbotlang. Bu yerda deb faraz qilinadi.
    
27. 
    va interval ekvivalent to‘plamlar ekanligini isbotlang.
    

Isbot. Bu to‘plamlar o‘rtasida biyektiv moslikni

funksiya yordamida o‘rnatish mumkin. Bu akslantirishning biyektiv ekanligi arktangens funksiyaning xossalaridan kelib chiqadi.

28. 
    .Ixtiyoriy cheksiz to‘plam o‘zining biror xos qism to‘plamiga ekvivalent bo‘ladi. Isbotlang.
    
29. 
    Ayirmasi chekli, kesishmasi sanoqli bo‘lgan va sanoqli to‘plamlarga misol keltiring.
    
30. 
    Simmetrik ayirmasi sanoqli, kesishmasi chekli bo‘lgan va sanoqli to‘plamlarga misol keltiring.
    
31. 
    kesma va interval ekvivalent ekanligini isbotlang.
    

_Isbot. Bu to‘plamlarni ekvivalent ekanligini ko‘rsatishda Kantor-Bernshteyn teoremasidan foydalanamiz. va desak, u holda 3.7-misolga ko‘ra bo‘ladi. bo‘lganligi uchun akslantirish biyeksiya bo‘ladi, ya’ni . Kantor-Bernshteyn teoremasiga ko‘ra .

32. 
    kesmani intervalga biyektiv akslantiruvchi moslikni quring.
    
33. 
    kvadrat va to‘g‘ri to‘rtburchak o‘rtasida biyektiv moslik o‘rnating.
    
34. 
    O‘zbekistondagi barcha talabalar to‘plami sanoqlimi?
    

Quyida berilgan to’plamning elementlarini aniqlang.

35. 
    .
    
36. 
    .
    
37. 
    .
    
38. 
    }.
    
39. 
    .
    
40. 
    .
    
41. 
    Ushbu tenglik o’rinlimi?
    
42. 
    Ushbu va to’plamlarning tengligini ko’rsating.
    
43. 
    munosabat o’rinlimi?
    
44. 
    munosabat o’rinlimi?
    
45. 
    Ushbu tenglik o’rinlimi?
    
46. 
    sondan tuzilgan to’plam bo’sh to’plam bo’ladimi?
    

Quyida berilgan to’plamlarning hamma qism to’plamlarini toping.

47. 
    elementlar uchun bo’lsa, va teng ekanligini isbotlang va aksincha.
    
48. 
    Quyidagi berilgan va to’plamlarga ko’ra , , to’plamlarni toping.
    

1) ;
2) ={ } , .
3)

49. 
    Agar bo’lsa, to’plamlarni toping
    
50. 
    Quyida berilgan to’plamlarni koordinatalar tekisligida tasvirlangan.