Mühazirə-4 Mövzu: Matris anlayışı. Matrislər üzərində əməllər plan: I matris və onun növləri

Xətti operatorun matrisi

Fərz edək ki, meydanı üzərində vektor fəzası verilmişdir və

(1)

fəzasının bazisidir. xətti operatoru götürək. Aydındır ki, vektorları –nin element­ləri olduğuna görə onların (1) bazisi üzrə xətti ayrılışını yazmaq olar.

(2)

Tərif: tipli

matrisinə xətti operatorun (1) bazisi üzrə matrisi deyilir. Bu matrisin ci sutunu (1) bazisində koordinat sütünudur. Bu tərifdən və (2) ayrılışlarının yeganəliyindən aşağı­da­kı nəticə çıxır. (1) bazisi qeyd olunduqda mat­risi xətti operator vasitəsilə yeganə qaydada təyin olunur. Bu mülahizənin tərsini də göstərmək olar:

Teorem 1: Əgər hər hansı

matrisi verilmişdirsə, elə yeganə xətti operatoru var ki, A matrisi -nin (1) bazisli üzrə matrisidir, yəni A= .

İsbatı: A matrisinin elementləri (1) bazisi vasitəsilə

(3)

bərabərlikləri vektorlarını yaradır.

Məlum teoremə əsasən elə yeganə xətti operatoru var ki . (2) bərabərliklərin­dən görünür ki, A matrisi -nin (1)- bazisi üzrə mat­risidir.

Teorem 2: meydanı üzərində vektor fəzasının (1) bazisi verildikdə, hər bir xət­ti operatoruna qarşı bu operatorun (1) bazisi üzrə mat­risini qoyan f operatoru Hom ( , ) çoxluğunun çoxlu­ğuna biyektiv operatordur.

İsbatı: f operatorunun inyektiv olduğunu yoxlamaq kifayət­dir. Əgər və inikasları üçün = olarsa, onda (2) bə­rabərliklərinə əsasən

.

Buradan çıxır ki, . Buradan da olar.

olduqda olması aşkardır.

və vektorlarının koordinat sütunları arasında əlaqə. Xətti operatorun ranqı
Fərz edək ki, xətti operator, (1) isə fəzasının bazisidir. İxtiyari vektorunu və onun obrazını (1) bazisi vasitəsilə xətti ifadə edək:

(2)

kimi işarə edək.

Teorem 5: Fərz edək ki, xətti operator, isə onun (1) bazis üzrə matrisidir. Onda istənilən üçün aşağıdakı bərabərlik doğrudur.

(3)

İsbatı: Fərz edək ki,

Xətti operatorun matrisinin tərifinə əsasən,

bərabərlikləri doğru olar. (2)-dan

(4)

(2)-dən və (4)-dən alarıq:

(5)

(5) və (2) bərabərliklərini aşağıdakı şəkildə yazaq:

.

Bu isə (3) bərabərliyidir.

Aşağıdakı teorem göstərir ki, xətti operatorunun veril­miş bazis üzrə - matrisi yeganədir.

Teorem 6: Fərz edək ki, xətti operator, isə onun bazisi üzrə matrisidir. Əgər istə­ni­lən və operatoru üçün olarsa, onda .