Mühazirə-4 Mövzu: Matris anlayışı. Matrislər üzərində əməllər plan: I matris və onun növləri

Altfəzaların ortoqonal tamamlayıcısı.
Skalyar hasilli Ѵ vektorlar fəzasının hər hansı vek­toruna ortoqonal olan vektorlar çoxluğunu kimi işarə edir­lər. Fərz edək ki, fəzasının boş olmayan altçoxluğu verilmişdir. -in bütün elementlərinə ortoqonal olan bütün vektolar çoxluğunu kimi işarə edək. – çoxluğuna -ə ortoqonal çoxluq deyilir və –in -ə ortoqonal olması mü­la­hizəsi kimi işarə olunur.

Teorem 1: Skalyar hasilli fəzasının altçoxluğuna or­to­qonal olan çoxluğu, fəzasının altfəzasını təşkil edir.

İsbatı: İstənilən və istənilən üçün aşağıdakı bərabərlik doğrudur:

.

olduğundan alı­nar. Bu isə göstərir ki, , deməli –a daxil olan istənilən iki vektorun ixtiyari xətti kombinasiyası da –a daxildir. Deməli, çoxluğu –nin altfəzasını təşkil edir.

Tərif: Skalyar hasilli fəzasının altfəzasına orto­qo­nal olan altfəzasına - in ortoqonal tamamlayıcısı deyilir.

Misallar: 1. Müstəvi koordinat sistemində absis və ordi­nat oxları biri-birinə ortoqonal olan altfəzalardır.

2.Fərz edək ki, Rⁿ – hesabi n ölçülü vektorlar fəzasıdır.

vektorlarının xətti örtüyünün ortoqonal tamam­la­yı­cısı, Rⁿ fəzasının çoxluğuna ortoqonal olan bü­tün vektorlar çoxluğu ilə üst-üstə düşür. Başqa sözlə, elə, vektorları çoxluğundan ibarət olur ki,

(8)

bərabərliyi ödənsin. (8) bərabərliyini açıq şəkildə yazsaq alarıq:

(9)

Deməli xətti örtüyünün ortoqonal tamamlayıcısı (9) bircins tənliklər sisteminin həllər fəzasıdır.

Teorem 2 : Skalyar hasilli fəzasının istənilən sonlu ölçülü altfəzası üçün ayrılışı doğrudur, burada altfəzaların düz cəminin işarəsidir.

İsbatı: –sıfır fəza olduqda teorem doğrudur. Fərz edək ki, . Əgər olarsa, onda , yəni olar. Deməli . Məlum teoremə görə cəmi düz cəmdir.

Fərz edək ki,

(10)

sistemi altfəzasının ortoqonal bazisidir. Göstərək ki, istənilən vektoru üçün elə skalyarları və vektoru var ki,

(11)

(11)-in hər tərəfini vektoruna skalyar vursaq və şərtlərini nəzərə alsaq bərabərliyini alarıq. olduğuna görə

(12)

tapırıq.

(13)

götürək. əmsallarını (12) şəklində götürdükdə (13)-dən

alarıq. Bu isə göstərir ki, . Deməli

Bu teoremdən aşağıdakı nəticələr çıxır.

Nəticə 1: Əgər –sonlu ölçülü skalyar hasilli vektorlar fəzası, isə onun hər hansı altfəzasıdırsa .

Nəticə 2: Əgər sonlu ölçülü skalyar hasilli vektorlar fəzasının altfəzasıdırsa, onda .

Nəticə 3. - sonlu ölçülü skalyar hasilli fə­za­sının altfəzaları olduqda