Mühazirə-4 Mövzu: Matris anlayışı. Matrislər üzərində əməllər plan: I matris və onun növləri

Evklid fəzası, vektorun norması və xassələri

Fərz edək ki, - Evklid fəzasıdır.

Tərif. - Evklid fəzasının vektorunun özü-özünə skalyar hasilinin hesabı kvadrat kökünə vektorun norması deyilir. vektorunun norması kimi işarə olunur.

Onda tərifə görə , yəni

Tərif 2: olduqda, -normal vektor adlanır.

Məsələn, koordinat müstəvisində vektorları normal vektorlardır.

Aydındır ki, istənilən sıfırdan fərqli vektoru verildikdə, vektoru normal olar.

Teorem 1: – Evklid fəzasının istənilən vektorları və ədədi üçün aşağıdakı xassələr doğrudur.

1. və onda və yalnız onda olar ki, olsun; 2.

3. .

Bu bərabərsizliyə Koşi-Bunyakovski bərabərsizliyi deyilir.

4. .

Bu bərabərsizliyə üçbucaq bərabərsizliyi deyilir.

5. olduqda, yəni olduqda .

Bu bərabərliyə də Pifaqor bərabərliyi deyilir.

İsbatı:

1. olduqda olduqda olur. Tərsinə, olduqda olur ki, bu da yalnız halında mümkündür.

2. .

3. və vektorlarından heç olmazsa biri sıfır vektor olduqda .

Fərz edək ki, və vektorlarının hər ikisi sıfırdan fərqlidir. İxtiyari həqiqi ədədi üçün

(1)

bərabərsizliyi alınar. Bu bərabərsizliyin sağ tərəfi t dəyişəninə görə kvadrat üçhədlidir. İstənilən t üçün bu bərabərsizliyin doğru olması, onun diskriminantının müsbət olmaması ilə ekvivalentdir. Deməli, (1) bərabərsizliyindən

(2)

bərabərsizliyi alınır ki, bu da Koşi-Bunyakovski bərabərsizliyi deməkdir.

(3)

Koşi-Bunyakovski bərabərsizliyinə görə

.

Onda (3) bərabərliyindən

alınar ki, buradan da

çıxar. Bu da üçbucaq bərabərsizliyi deməkdir.

5. olduqda

Evklid fəzasının

(4)

vektorlar sistemi ortoqonal sistem olmaqla, onun hər bir vektoru həm də normaldırsa, bu sistemə ortonormal sistem deyilir.

Əgər ortonormal sistem fəzanın bazisini təşkil edirsə ona fəzanın ortonormal bazisi deyilir.

Məsələn, Rⁿ - n ölçülü hesabi vektorlar fəzasında

sistemi ortonormal bazisdir.

Tərifdən görünür ki, əgər (4) sistemi ortonormal bazis­dir­sə, onda

(5)