İlyas həSƏnov həNDƏSƏ Çoxbucaqlılar (Teoremlərin isbatı) baki 2009

Ulduz


7) Qabarıq çoxbucaqlının tərəflərini uzatmaqla alınan həndəsi fiqura ulduz deyildir. Belə çoxbucaqlı qabarıq olmayan çoxbucaqlıdır. Ulduzun təpə nöqtələrinin sayı iləçox­bu­caqlının təpə nöqtələrinin sayı eynidir. n-bucaqlı (n>4) ulduzundaxili bucaq­ları­nın cəmi 180º(n – 4) -dür.
Isbatı:
Ulduzun təpə nöqtələri A₁, A₂,...., A_n ilə işarə edək. olsun. Onda üçbucaqlarının daxili bucaqları cəmi 180ºn olacaq. Digər tərəfədən bu cəm φ + 2 ∙ 360º olacaqdır. Həqiqətən abcde...çox­bu­caqlısında hər təpə nöqtəsində iki xarici bucaq götürməklə xarici bucaqları cəmi
2 ∙360º = 720ºolacaq. Onda:

olar. Xüsusi halda beşkünc ulduzun daxili bucaqları cəmiφ = 180º(5 – 4) = 180º olar.
8) İxtiyari n-bucaqlının bir qiymətli təyin olunması üçün onun (2n – 3) sayda aslı olma­yan elementi (n ≥ 3) məlum olmalıdır. Onlardan ən azı (n – 2) -si uzunluq və qalan
(n – 1) –i bucaqdır.
Isbatı:
a) Riyazi induksiya metodundan istifadə edək. n = 3 olduqda 2n – 3 = 2 ∙ 3 – 3=3alarıq. Həqiqətən də üçbucağın birqiymətli təyin olunması üçün onun üç aslı olmayan ele­­­­me­nti məlum olmalıdır və onlardan heç olmasa biri tərəf olmalıdır.
Göstərək ki, bu teorem tərəflərin sayı (n – 1) olduqda doğrudursa, n-bucaqlı üçün də doğru olar. Tutaq ki, A₁A₂,....A_n-1A_nn-bucaqlıdır. A₁A_n diaqonalını keçirək. Onda bir
(n – 1) tərəfli A₁A₂,....A_n-1 çoxbucaqlısını və alacağıq. Biz qəbul etmişdik ki, (n – 1) tərəfli çoxbucaqlı üçün bu teorem doğrudur və onun birqiymətli təyin edil-mə­si üçün 2(n – 1) – 3= 2n – 5aslı olmayan element məlum olmalıdır. Lakin (n – 1) bucaqlının məlum elementlərinə əsasən n-bucaqlını elementlərin tapmaq üçün A_n nöqtəsinin vəziyyətini təyin etməyə imkan verən daha iki əsas element məlum olmalı­dır. Məsələn, A₁A_n, A_n-1A_n tərəfləri və ya və ya da A₁A_ntərəfi ilə məlum olmalıdır. Deməli, n-bucaqlının elementlərini birqiymətli təyin etmək üçün (2(n – 1) – 3)+ 2 = 2n – 3aslı olmayan element məlum olmalıdır.
b) Göstərək ki, n-bucaqlının məlum (2n – 3) sayda elementindən ən azı (n – 2) -si tərəf olmalıdır. Riyazi induksiya metodundan istifadə edək. Həqiqətən də n = 3 olduqda n – 2 = 3 – 2 = 1 olar, yəni üçbucağın elementlərinibirqiymətli təyin etmək üçün heç olmasa bir tərəfin uzunluğu məlum olmalıdır. Bu mühakimənin doğruluğu isə üçbucaq bəhsindən məlumdur. A₂ nöqtəsini A_n-1 nöqtəsi ilə birləşdirək. Şərtə əsasən A₁A₂A₃.. A_n-1 (n – 1) -bucaqlısının (n – 1) – 2 = n – 3 sayda məlum elementi tərəf olmalıdır. Göstərək ki, onda düzgün n bucaqlının məlum (n – 2) sayda elementi tərəfdir. Tutaq ki, digər üçü naməlum tərəfA₁A₂,A_nA₁ və A_n-1A_n-dir. Onda A₁A₂A_n-1A₁ dördbucaqlısının elementlərini tapmaq üçün A₂A_n-1 tərəfinin uzunluğu və onun bütün bucaqlarını bilmək kifayət deyil. Jə­niA₁,An nöqtələrinin vəziyyətini təyin etmək üçün A₁A₂,A_nA₁ və ya A_n-1A_ntərəflə­rin­dən heç olmasa birinin uzunluğu məlum olmalıdır. Deməli n-bucaqlını (n – 3)+1= n – 2sayda məlum elementi tərəflərin uzunluğu olmalıdır.
c) n-bucaqlının birqiymətli təyin olunması üçün lazım olan bucaqların sayı aşağıdakı kimi tapılır: 2n – 3 – (n – 2) = 2n – 3 – n + 2 = n – 1.