Mühazirə-4 Mövzu: Matris anlayışı. Matrislər üzərində əməllər plan: I matris və onun növləri

1.Sadə spektrli xətti operatorlar
Bir çox hallarda xətti operatorun müəyyən bir bazis üzrə matrisinin diaqonal matris olduğunu bilmək lazım gəlir.

Teorem 1: meydanı üzərində n ölçülü vektorlar fəzasında təsir edən xətti operatorunun hər hansı bazisindəki matrisi o zaman və yalnız o zaman diaqonal matris olar ki, bu bazisin bütün elementləri xətti operatorun məxsusi vektorları olsun.

İsbatı: Əgər operatorunun bazisi üzrə matrisi

şəklində diaqonal matrisdirsə, onda tərifə əsasən yaza bilərik:

(1)

Tərsinə, əgər bazisinin elementləri, uyğun olaraq, məxsusi qiymətlərinə cavab verən məxsusi vektorlardırsa, onda (1) bərabərlikləri doğru olar, ona görə də operatorunun matrisi M ( ) diaqonal matrisi olar.

Teorem 2: Xətti operatorun müxtəlif məxsusi qiymət­lə­ri­nə uyğun olan məxsusi vektorları xətti asılı deyil.

İsbatı: Fərz edək ki, vektorları müxtəlif məxsusi qiymətlərinə uyğun olan məxsusi vektor­lar­dır. n=1 olarsa, onda bir elementdən ibarət vektor xətti asılı de­yil. Fərz edək ki, teorem n -1 vektor üçün doğrudur, yəni

(2)

bərabərliyi - lərin yalnız sıfır qiymətlərində doğrudur.

(3)

bərabərliyində -lərdən bəziləri, məsələn olarsa, onda kecən mühazirəmizdəki (3) bərabərliyinə operatoru ilə təsir edərək alarıq:

(4)

vektorları məxsusi qiymətlərinə uyğun məxsusi vektorlar olduğuna görə (4) bərabərliyindən aşağıdakı bərabərlik alınar.

. (5)

İndi (3) bərabərliyini -ə vuraq:

. (6)

(5)-dan (6)-nu tərəf-tərəfə çıxsaq alarıq:

. (7)

sistemi xətti asılı olmadığına görə (7) bəra­bər­li­yi əmsalların yalnız sıfır qiymətlərində doğru olar. Xüsusi hal­da olar ki, buradan alınar. Bu da məx­susi qiymətlərin müxtəlif olması şərtinə zidd olar.

Tərif 3: Sonlu ölçülü vektorlar fəzasında təsir edən xətti operatorun bütün məxsusi qiymətləri müxtəlifdirsə ona sadə spektrli xətti operator deyilir.

Nəticə 1: Sadə spektrli xətti operatorun hər məxsusi qiy­mətinə uyğun bir məxsusi vektor götürməklə alınan bazisdəki mat­risi diaqonal matris olar.